Question

【題目】如圖，在ABCD中，E，F(xiàn)分別為邊AB，CD的中點，連接DE，BF，BD．

（1）求證：△ADE≌△CBF．
（2）若AD⊥BD，則四邊形BFDE是什么特殊四邊形？請證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵平行四邊形ABCD中
∴∠A=∠C，AD=BC，AB=DC

∵E、F分別為AB、CD的中點，
∴AE=AB，CF=DC

∴AE=CF．

在△ADE和△CBF中，

∴△ADE≌△CBF（SAS）

（2）解：若AD⊥BD，則四邊形BFDE是菱形．

證明：∵AD⊥BD，

∴△ABD是直角三角形，且∠ADB=90°．

∵E是AB的中點，

∴DE= AB=BE．

∵在ABCD中，E，F(xiàn)分別為邊AB，CD的中點，

∴EB∥DF且EB=DF，

∴四邊形BFDE是平行四邊形．

∴四邊形BFDE是菱形．

【解析】（1）抓住題中關(guān)鍵的已知條件平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為邊AB，CD的中點，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和線段中點的定義，易證AE=CF，∠A=∠C，AD=BC。可得到△ADE≌△CBF；（2）這是一道探究結(jié)論性的考題。先證明四邊形BFDE是平行四邊形，再證明一組鄰邊相等。而四邊形BFDE是平行四邊形易證，由AD⊥BD證得ABD是直角三角形，又有E是AB的中點，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，易證到一組鄰邊相等，從而得出結(jié)論。
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用直角三角形斜邊上的中線和平行四邊形的性質(zhì)的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補；平行四邊形的對角線互相平分．