Question

已知：△ABC的高BD、CE相交于點(diǎn)O，M、N分別為BC、ED的中點(diǎn)．
求證：MN垂直平分DE．

Answer 1

考點(diǎn)：直角三角形斜邊上的中線,線段垂直平分線的性質(zhì)

專題：證明題

分析：連接EM，DM，由BD與CE為三角形ABC的兩條高，可得三角形BEC與三角形BDC為直角三角形，根據(jù)M為BC的中點(diǎn)，利用斜邊上的中線等于斜邊的一半可得EM為BC的一半，DM也為BC的一半，等量代換可得EM=DM，根據(jù)線段垂直平分線的逆定理得到M在線段ED的垂直平分線上，又N為ED的中點(diǎn)，可得N也在DE的垂直平分線上，即MN垂直平分ED，得證．

解答：證明：連接EM，DM，如圖所示：

∵BD，CE為△ABC的兩條高，
∴BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠BEC=∠BDC=90°，
在Rt△BEC中，M為斜邊BC的中點(diǎn)，
∴EM=

1

2

BC，
同理在Rt△BDC中，M為斜邊BC的中點(diǎn)，可得DM=

1

2

BC，
∴EM=DM，
∴M在線段ED的垂直平分線上，
又N為ED的中點(diǎn)，
∴N也在線段ED的垂直平分線上，
∴MN垂直平分ED．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)，以及線段垂直平分線的逆定理，利用了轉(zhuǎn)化的思想，其中連接出如圖所示的輔助線是解本題的關(guān)鍵．