Question

如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，點O、I分別為△ABC的外心和內(nèi)心，AC=6，BC=8，則OI的值為
（　　）

• A、2
• B、

  3

• C、

  5

• D、1

Answer 1

考點：三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心,三角形的外接圓與外心

專題：壓軸題

分析：如圖，作△ABC的內(nèi)切圓⊙I，過點I作ID⊥BC于D，IE⊥AC于E，IN⊥AB于N．先根據(jù)勾股定理求出AB=10，得到△ABC的外接圓半徑AO=5，再證明四邊形IECD是正方形，根據(jù)內(nèi)心的性質(zhì)和切線長定理
求出⊙I的半徑r=2，則ON=1，然后在Rt△OIN中，運用勾股定理即可求解．

解答：解：如圖，作△ABC的內(nèi)切圓⊙I，過點I作ID⊥BC于D，IE⊥AC于E，IN⊥AB于N．
在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8，
∴AB=

AC2+BC2

=10．
∵點O為△ABC的外心，
∴AO為外接圓半徑，AO=

1

2

AB=5．
設(shè)⊙I的半徑為r，則ID=IE=r，
又∵∠IDC=∠IEC=∠C=90°，
∴四邊形IECD是正方形，
∴CE=CD=r，AE=AN=6-r，BD=BN=8-r，
∵AB=10，
∴8-r+6-r=10，
解得r=2，
∴IN=r=2，AN=6-r=4．
在Rt△OIN中，∵∠INO=90°，ON=AO-AN=5-4=1，
∴OI=

IN2+ON2

=

5

．
故選C．

點評：此題考查了直角三角形的外心與內(nèi)心的概念及性質(zhì)，勾股定理，正方形的判定與性質(zhì)，切線長定理，綜合性較強，難度適中．求出△ABC的內(nèi)切圓半徑是解題的關(guān)鍵．