Question

已知：如圖，在菱形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分別為點E和點F，AE、AF分別與BD相交于點M、N．
（1）求證：EF∥BD；
（2）當MN：EF=2：3時，求證：△AMN是等邊三角形．

Answer 1

考點：菱形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）利用菱形的性質(zhì)和已知條件易證△ABE≌△ADF，所以BE=DF，再證明

BE

BC

=

DF

CD

，即可得到EF∥BD；
（2）根據(jù)已知條件可證明AM=AN，由（1）可知：AE=AF，進而可證明：△AMN是等邊三角形．

解答：證明：（1）在菱形ABCD中，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分別為點E和點F，
∴∠AEB=∠AFD=90°．
在△ABE和△ADF中，

∠AEB=∠AFD ∠ABC=∠ADC AB=AD

，
∴△ABE≌△ADF．
∴BE=DF，
又∵BC=CD，
∴

BE

BC

=

DF

CD

，
∴EF∥BD；
（2）∵MN∥EF，MN：EF=2：3，
∴

AM

AE

=

MN

EF

=

2

3

．
∴

AM

EM

=2．
∵BE∥AD，
∴

BE

AD

=

EM

AM

=

1

2

．
而AD=AB，∴

BE

AB

=

1

2

．
∴∠BAE=30°．
∵AB∥CD，AF⊥CD，
∴∠BAF=90°．
∴∠EAF=60°．
∵△ABE≌△ADF，
∴AE=AF．
而

AM

AE

=

AN

AF

，
∴AM=AN．
∴△AMN是等邊三角形．

點評：本題考查了菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、平行線的判定和性質(zhì)以及等邊三角形的判定方法，題目的綜合性較強，難度中等．