Question

如圖，BE、BC、CG分別切圓O于點(diǎn)E、F、G，且BE∥CG．
（1）若BE=4，CG=9，求圓O的半徑；
（2）若BO=6，CO=8，求圓O的半徑．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì)

專題：

分析：如圖，連接EG、OF．構(gòu)建相似三角形，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例來求圓O的半徑．
（1）通過△EBO∽△GOC的對(duì)應(yīng)邊成比例來求該圓的半徑；
（2）勾股定理求得BC的長(zhǎng)度，然后利用面積法來求OF的長(zhǎng)度．

解答：解：如圖，連接EG、OF．
（1）∵BE、BC分別切圓O于點(diǎn)E、F，
∴BE=BF．
∵在△BEO與△BFO中，

BE=BF OB=OB EO=FO

，
∴△BEO≌△BFO（SSS），
∴∠EBO=∠FBO．
同理，∠GCO=∠FCO．
∵BE∥CG．
∴∠ABC+∠DCB=180°，
∴∠OBC+∠OCB=

1

2

（∠ABC+∠DCB）=90°，
∠BOC=90°．
又BE、CG分別切圓O于點(diǎn)E、G，
∴點(diǎn)E、O、F三點(diǎn)共線，∠OEB=∠OGC=90°，
∴∠EOB=∠GCO，
∴△EBO∽△GOC，
∴

BE

OG

=

EO

GC

，即

4

OG

=

OG

9

，
則OG=6，即圓O的半徑是6；

（2）由（1）知，∠BOC=90°．
∵BO=6，CO=8，
∴由勾股定理得到：BC=

OB2+OC2

=10．
∵BC是⊙O的切線，F(xiàn)是切點(diǎn)，
∴OF⊥BC，
∴

1

2

OB•OC=

1

2

BC•OF，則OF=

OB•OC

BC

=

48

10

=4.8，即圓O的半徑是4.8．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的性質(zhì)、勾股定理以及相似三角形的判定與性質(zhì)的知識(shí)．運(yùn)用切線的性質(zhì)來進(jìn)行計(jì)算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問題．