Question

【題目】（1）已知：如圖1，△ABC中，分別以AB、AC為一邊向△ABC外作正方形ABGE和ACHF，直線AN⊥BC于N，若EP⊥AN于P，FQ⊥AN于Q．判斷線段EP、FQ的數(shù)量關(guān)系，并證明；

（2）如圖2，梯形ABCD中，AD∥BC，分別以兩腰AB、CD為一邊向梯形ABCD外作正方形ABGE和DCHF，線段AD的垂直平分線交線段AD于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N，若EP⊥MN于P，FQ⊥MN于Q．（1）中結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）EP、FQ的數(shù)量關(guān)系是相等，理由見解析；（2）成立，理由見解析

【解析】

(1)由正方形的邊角關(guān)系可證△FQA≌△ANC,則FQ ＝ AN;同樣可證△EPA≌△ANB,則EP＝ AN，從而得出EP＝ FQ;

(2)過D作PN的平行線分別交FQ、BC于點(diǎn)K、I,由AAS可證△FKD≌△DIC則QK ＝ DM,

FQ＝DM＋MN,同理可得，EP＝AM＋MN,再由MN為AD中垂線,得出AM＝ MD ,從而證出EP＝ FQ .

（1）EP、FQ的數(shù)量關(guān)系是相等．

證明：∠QFA＝90°﹣∠FAQ＝∠CAN，

在△FQA與△ANC中，

，

∴△FQA≌△ANC（AAS），

∴FQ＝AN；

同理△EPA≌△ANB，

∴EP＝AN，

∴EP＝FQ；

（2）答：（1）中的結(jié)論依然成立．理由如下：

過D作PN的平行線分別交FQ、BC于點(diǎn)K、I．

∵∠KFD＝90°﹣∠FDK＝∠CDI，

在△FKD與△DIC中，

∴△FKD≌△DIC（AAS），

∴FK＝DI，

∴FQ＝FK+KQ＝DI+DM＝DM+MN；

同理可得，EP＝AM+MN，

又∵MN為AD中垂線，

∴AM＝MD，

∴EP＝AM+MN＝DM+MN＝FQ．