Question

九年級（1）班為即將到來的“五•一”國際勞動節(jié)排練節(jié)目時需要3個底面圓半徑為10厘米，母線長為20厘米的圓錐形小紅帽（不計接縫損失）．
（1）試確定這種圓錐形小紅帽側面展開圖（扇形）的圓心角的度數(shù)；
（2）現(xiàn)有寬為40厘米的矩形布料可供選用，按照題目要求在圖1中畫出使布料能充分利用（最省料）的示意圖，并求出矩形布料的長至少為多少厘米．

Answer 1

考點：圓錐的計算,勾股定理,相切兩圓的性質

專題：

分析：（1）利用圓錐底面圓的周長等于展開圖的扇形弧長求出圓心角即可；
（2）利用扇形的圓心角為180°，圓錐母線長為20厘米，所以這個扇形的半徑為20厘米的半圓，結合⊙O₁，⊙O₂，⊙O₃兩兩外切，由兩圓外切的性質得出和勾股定理求出O₃E的長，進而得出EO₃=O₁D，以及矩形布料的長至少應為(20+20

3

)厘米．

解答：解：（1）設圓心角的度數(shù)為n°，則

nπ×20

180

=2π×10．（3分）
所以n=180．所以此圓錐形小紅帽側面展開圖的圓心角度數(shù)為180°．（5分）

（2）因為扇形的圓心角為180°，圓錐母線長為20厘米，所以這個扇形的半徑為20厘米的半圓．
如圖1所示，當三個半圓所在圓兩兩外切，且半圓的直徑與長方形的邊垂直時，能使布料得以充分利用．（10分）
如圖2，連接O₁O₂，O₂O₃，O₃O₁．
因為⊙O₁，⊙O₂，⊙O₃兩兩外切，AO₁=BO₂=CO₃=20，
所以O₁O₂=O₂O₃=O₃O₁=O₁A+CO₃=40．
過點O₃作O₃E⊥O₁O₂，垂足為E．
因為O₂O₃=O₁O₃，
所以O1E=O2E=

1

2

O1O2=20．
在△O₁EO₃中，∠O₁EO₃=90°，
根據(jù)勾股定理EO3=

O1O32-O1E2

=

402-202

=20

3

．（15分）
因為四邊形ABCD是矩形，
所以AD∥BC，AD=BC，∠A=∠D=90°．
因為AO₁=BO₂，AO₁∥BO₂，
所以四邊形ABO₂O₁是矩形．
所以∠AO₁O₂=90°．
所以O₁E∥DO₃．
又因為O₁E=DO₃，
所以四邊形O₁EO₃D是平行四邊形．
所以EO₃=O₁D．
所以AD=AO1+O1D=20+20

3

．（20分）
因此矩形布料的長至少應為(20+20

3

)厘米．

點評：此題主要考查了圓錐的有關計算以及兩圓外切的性質和勾股定理等知識，利用相切兩圓性質得出EO₃=O₁D的長是解題關鍵．