Question

【題目】如圖，在直角坐標(biāo)系中有一直角三角形AOB，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA=1．tan∠BAO=3，將此三角形繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△DOC，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A、B、C．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點(diǎn)P是第二象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為t，

①設(shè)拋物線對(duì)稱軸l與x軸交于一點(diǎn)E，連接PE，交CD于F，求出當(dāng)△CEF與△COD相似時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)；

②是否存在一點(diǎn)P，使△PCD得面積最大？若存在，求出△PCD的面積的最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=-x2-2x+3，（2）①P點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，4）或（-2，3）；②存在點(diǎn)P使△PCD的面積最大，△PCD的面積有最大值為．

【解析】

試題分析：（1）由三角函數(shù)的定義可求得OB，再結(jié)合旋轉(zhuǎn)可得到A、B、C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；

（2）①△COD為直角三角形，可知當(dāng)△CEF與△COD相似時(shí)有兩種情況，即∠FEC=90°或∠EFC=90°，當(dāng)PE⊥CE時(shí)，則可得拋物線的頂點(diǎn)滿足條件，當(dāng)PE⊥CD時(shí)，過P作PG⊥x軸于點(diǎn)G，可證△PGE∽△COD，利用相似三角形的性質(zhì)可得到關(guān)于t的方程，可求得P點(diǎn)坐標(biāo)；②可求得直線CD的解析式，過P作PN⊥x軸于點(diǎn)N，交CD于點(diǎn)M，可用t表示出PM的長，當(dāng)PM取最大值時(shí)，則△PCD的面積最大，可求得其最大值．

試題解析：（1）∵OA=1．tan∠BAO=3，

∴=3，解得OB=3，

又由旋轉(zhuǎn)可得OB=OC=3，

∴A（1，0），B（0，3），C（-3，0），

設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx+c，把A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)代入可得

，解得，

∴拋物線解析式為y=-x2-2x+3，

（2）①由（1）可知拋物線對(duì)稱軸為x=-1，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，4），

∵△COD為直角三角形，

∴當(dāng)△CEF與△COD相似時(shí)有兩種情況，即∠FEC=90°或∠EFC=90°，

若∠FEC=90°，則PE⊥CE，

∵對(duì)稱軸與x軸垂直，

∴此時(shí)拋物線的頂點(diǎn)即為滿足條件的P點(diǎn)，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，4）；

若∠EFC=90°，則PE⊥CD，

如圖，過P作PG⊥x軸于點(diǎn)G，

則∠GPE+∠PEG=∠DCO+∠PEG，

∴∠GPE=∠OCD，且∠PGE=∠COD=90°，

∴△PGE∽△COD，

∴，

∵E（-1，0），G（t，0），且P點(diǎn)橫坐標(biāo)為t，

∴GE=-1-t，PG=-t2-2t+3，

∴，解得t=-2或t=3，

∵P點(diǎn)在第二象限，

∴t＜0，即t=-2，

此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，3），

綜上可知滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，4）或（-2，3）；

②設(shè)直線CD解析式為y=kx+m，

把C、D兩點(diǎn)坐標(biāo)代入可得，解得，

∴直線CD解析式為y=x+1，

如圖2，過P作PN⊥x軸，交x軸于點(diǎn)N，交直線CD于點(diǎn)M，

∵P點(diǎn)橫坐標(biāo)為t，

∴PN=-t2-2t+3，MN=t+1，

∵P點(diǎn)在第二象限，

∴P點(diǎn)在M點(diǎn)上方，

∴PM=PN-MN=-t2-2t+3-（t+1）=-t2-t+2=-（t+）2+，

∴當(dāng)t=-時(shí)，PM有最大值，最大值為，

∵S△PCD=S△PCM+S△PDM=PMCN+PMNO=PMOC=PM，

∴當(dāng)PM有最大值時(shí)，△PCD的面積有最大值，

∴（S△PCD）max=×=，

綜上可知存在點(diǎn)P使△PCD的面積最大，△PCD的面積有最大值為．