Question

【題目】某市在黨中央實(shí)施“精準(zhǔn)扶貧”政策的號(hào)召下，大力開展科技扶貧工作，幫助農(nóng)民組建農(nóng)副產(chǎn)品銷售公司，某農(nóng)副產(chǎn)品的年產(chǎn)量不超過100萬件，該產(chǎn)品的生產(chǎn)費(fèi)用y（萬元）與年產(chǎn)量x（萬件）之間的函數(shù)圖象是頂點(diǎn)為原點(diǎn)的拋物線的一部分（如圖①所示）；該產(chǎn)品的銷售單價(jià)z（元/件）與年銷售量x（萬件）之間的函數(shù)圖象是如圖②所示的一條線段，生產(chǎn)出的產(chǎn)品都能在當(dāng)年銷售完，達(dá)到產(chǎn)銷平衡，所獲毛利潤為w萬元．（毛利潤=銷售額﹣生產(chǎn)費(fèi)用）

（1）請直接寫出y與x以及z與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）求w與x之間的函數(shù)關(guān)系式；并求年產(chǎn)量多少萬件時(shí)，所獲毛利潤最大？最大毛利潤是多少？

（3）由于受資金的影響，今年投入生產(chǎn)的費(fèi)用不會(huì)超過360萬元，今年最多可獲得多少萬元的毛利潤？

Answer 1

【答案】（1）y=x2，z=﹣x+30；（2）W==﹣x2+30x，年產(chǎn)量為75萬件時(shí)毛利潤最大，最大毛利潤為1125萬元；（3）今年最多可獲得1080萬元的毛利潤.

【解析】

（1）結(jié)合圖象，利用待定系數(shù)法求出y與x以及z與x之間的函數(shù)關(guān)系式即可；（2）根據(jù)毛利潤=銷售額﹣生產(chǎn)費(fèi)用可得w與x之間的函數(shù)關(guān)系式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；（3）令y=0，解方程求得x的值，根據(jù)圖象結(jié)合y的取值范圍，求得x的取值范圍，再由二次函數(shù)的性質(zhì)即可解答.

（1）圖①可得函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)（100，1000），

設(shè)拋物線的解析式為y=ax2（a≠0），

將點(diǎn)（100，1000）代入得：1000=10000a，

解得：a=，

故y與x之間的關(guān)系式為y=x2．

圖②可得：函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)（0，30）、（100，20），

設(shè)z=kx+b，則，

解得：，

故z與x之間的關(guān)系式為z=﹣x+30；

（2）W=zx﹣y=﹣x2+30x﹣x2

=﹣x2+30x

=﹣（x2﹣150x）

=﹣（x﹣75）2+1125，

∵﹣＜0，

∴當(dāng)x=75時(shí)，W有最大值1125，

∴年產(chǎn)量為75萬件時(shí)毛利潤最大，最大毛利潤為1125萬元；

（3）令y=360，得x2=360，

解得：x=±60（負(fù)值舍去），

由圖象可知，當(dāng)0＜y≤360時(shí)，0＜x≤60，

由W=﹣（x﹣75）2+1125的性質(zhì)可知，

當(dāng)0＜x≤60時(shí)，W隨x的增大而增大，

故當(dāng)x=60時(shí)，W有最大值1080，

答：今年最多可獲得毛利潤1080萬元．