Question

在平面直角坐標系中，二次函數(shù)的圖像與軸交于點A，B（點B在點A的左側），與軸交于點C，過動點H（0, ）作平行于軸的直線，直線與二次函數(shù)的圖像相交于點D，E.

（1）寫出點A,點B的坐標；

（2）若，以DE為直徑作⊙Q，當⊙Q與軸相切時，求的值；

（3）直線上是否存在一點F，使得△ACF是等腰直角三角形？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.

 

 

Answer 1

（1）（4，0）和（－1，0）；（2）；（3）存在，m=或或3或.

【解析】

試題分析：（1）A、B兩點的縱坐標都為0，所以代入y=0，求解即可．

（2）由圓和拋物線性質易得圓心Q位于直線與拋物線對稱軸的交點處，則Q的橫坐標為，可推出D、E兩點的坐標分別為：，因為D、E都在拋物線上，代入一點即可得m．

（3）使得△ACF是等腰直角三角形，重點的需要明白有幾種情形，分別以三邊為等腰三角形的兩腰或者底，則共有3種情形；而三種情形中F點在AC的左下或右上方又各存在2種情形，故共有6種情形．求解時．利用全等三角形知識易得m的值．

試題解析：【解析】
（1）當y=0時，有，解之得：，

∴A、B兩點的坐標分別為（4，0）和（－1，0）.

（2）∵⊙Q與軸相切，且與交于D、E兩點，

∴圓心O位于直線與拋物線對稱軸的交點處，且⊙Q的半徑為H點的縱坐標（）.

∵拋物線的對稱軸為，

∴D、E兩點的坐標分別為：且均在二次函數(shù)的圖像上.

∵，解得或（不合題意，舍去）.

（3）存在.

①當∠ACF=90°，AC=FC時，如答圖1，

過點F作FG⊥y軸于G，∴∠AOC=∠CGF=90°.

∵∠ACO+∠FCG=90°，∠GFC+∠FCG=90°，∴∠ACO=∠CFG.

∴△ACO≌△∠CFG，∴CG=AO=4.

∵CO=2，

∴或=OG=2+4=6.

②當∠CAF=90°，AC=AF時，如答圖2，

過點F作FP⊥x軸于P，∴∠AOC=∠APF=90°.

∵∠ACO+∠OAC=90°，∠FAP+∠OAC=90°，∴∠ACO=∠FAP.

∴△ACO≌△∠FAP，∴FP =AO=4.

∴或=FP =4.

③當∠AFC=90°，F(xiàn)A=FC時，如答圖3，

則F點一定在AC的中垂線上，此時存在兩個點分別記為F，F(xiàn)′，

分別過F，F(xiàn)′兩點作x軸、y軸的垂線，分別交于E，G，D，H．

∵∠DFC+∠CFE=∠CFE+∠EFA=90°，∴∠DFC=∠EFA.

∵∠CDF=∠AEF，CF=AF，∴△CDF≌△AEF.

∴CD=AE，DF=EF.∴四邊形OEFD為正方形.

∴OA=OE+AE=OD+AE=OC+CD+AE=OC+2CD.

∴4=2+2•CD.∴CD=1，∴m=OC+CD=2+1=3．

∵∠HF′C+∠CGF′=∠CGF′+∠GF′A，∴∠HF′C=∠GF′A.

∵∠HF′C=∠GF′A，CF′=AF′.∴△HF′C≌△GF′A.∴HF′=GF′，CH=AG.

∴四邊形OHF′G為正方形.

∴.∴OH=1.

∴m=．

∵，∴y的最大值為.

∵直線l與拋物線有兩個交點，∴m＜∴m可取值為m=或或3或.

綜上所述，m的值為m=或或3或.

考點：1.二次函數(shù)綜合題； 2.單動點問題；3.等腰直角三角形存在性問題；4.二次函數(shù)的性質；5.曲線上點的坐標與方程的關系；6.直線與圓的位置關系；7.全等三角形的判定和性質；8.正方形的判定和性質；9.分類思想的應用．