Question

已知關(guān)于x的一元二次方程x²-2

2

x+m=0有兩個不相等的實數(shù)根．
（1）求實數(shù)m的最大整數(shù)值；
（2）在（1）的條下，方程的實數(shù)根是x₁，x₂，求代數(shù)式x₁²+x₂²-x₁x₂的值．

Answer 1

考點：根與系數(shù)的關(guān)系,根的判別式

專題：代數(shù)綜合題

分析：（1）若一元二次方程有兩不等實數(shù)根，則根的判別式△=b²-4ac＞0，建立關(guān)于m的不等式，求出m的取值范圍，進(jìn)而得出m的最大整數(shù)值；
（2）根據(jù)（1）可知：m=1，繼而可得一元二次方程為x²-2

2

x+1=0，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，可得x₁+x₂=2

2

，x₁x₂=1，再將x₁²+x₂²-x₁x₂變形為（x₁+x₂）²-3x₁x₂，則可求得答案．

解答：解：∵一元二次方程x²-2

2

x+m=0有兩個不相等的實數(shù)根，
∴△=8-4m＞0，
解得m＜2，
故整數(shù)m的最大值為1；

（2）∵m=1，
∴此一元二次方程為：x²-2

2

x+1=0，
∴x₁+x₂=2

2

，x₁x₂=1，
∴x₁²+x₂²-x₁x₂=（x₁+x₂）²-3x₁x₂=8-3=5．

點評：此題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系與根的判別式．此題難度不大，解題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：
（1）△＞0?方程有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）△=0?方程有兩個相等的實數(shù)根；
（3）△＜0?方程沒有實數(shù)根．
掌握根與系數(shù)的關(guān)系：x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根時，x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．