Question

如圖①，在Rt△ABC中，已知∠A=90°，AB=AC，G、F分別是AB、AC上的兩點(diǎn)，且GF∥BC，AF=2，BG=4．
（1）求梯形BCFG的面積；
（2）有一梯形DEFG與梯形BCFG重合，固定△ABC，將梯形DEFG向右運(yùn)動(dòng)，直到點(diǎn)D與點(diǎn)C重合為止，如圖②．
①若某時(shí)段運(yùn)動(dòng)后形成的四邊形BDG'G中，DG⊥BG'，求運(yùn)動(dòng)路程BD的長(zhǎng)，并求此時(shí)G'B²的值；
②設(shè)運(yùn)動(dòng)中BD的長(zhǎng)度為x，試用含x的代數(shù)式表示出梯形DEFG與Rt△ABC重合部分的面積S．

Answer 1

分析：（1）在Rt△ABC中由AB=AC得到∠ABC=∠ACB=45°．又由GF∥BC得到∠AGF=∠AFG=45°，由此得到AG=AF=2，AB=AC=6，而S_梯形GBCF=S_△ABC-S_△AGF，所以梯形的面積就可以求出了；
（2）①根據(jù)運(yùn)動(dòng)過(guò)程知道BDG′G是平行四邊形，又DG⊥BG′，所以BDG′G是菱形，由此得到BD=BG=4，如圖③過(guò)點(diǎn)G′作G′M⊥BC于點(diǎn)M，在Rt△G′DM中，∠G′DM=45°，DG′=4可以得到DM=G′M且DM²+G'M²=DG'²，求出DM=G'M=2

2

，接著得到BM=4+2

2

，然后在Rt△G′BM中，根據(jù)勾股定理可以求出BG'²；②當(dāng)o≤x≤2

2

時(shí)，其重合部分為梯形，如圖②．在Rt△AGF與Rt△ABC中分別求出GF，BC，過(guò)G點(diǎn)作GH垂直BC于點(diǎn)H，得GH=2

2

，由①知BD=GG′=x，DC=6

2

-x，G'F'=2

2

-x，現(xiàn)在就可以用x表示S了．當(dāng)2

2

≤x≤6

2

時(shí)，其重合部分為等腰直角三角形，如圖③．斜邊DC=6

2

-x，斜邊上的高為

1

2

(6

2

-x)，現(xiàn)在也可以用x表示s了．

解答：解：（1）在Rt△ABC中，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°．
又∵GF∥BC，
∴∠AGF=∠AFG=45°．
∴AG=AF=2，AB=AC=6．
∴S_梯形GBCF=S_△ABC-S_△AGF=

1

2

×6×6-

1

2

×2×2=16．

（2）①∵在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中有DG′∥BG且DG′=BG，∴BDG′G是平行四邊形．
當(dāng)DG⊥BG′時(shí)，BDG′G是菱形．
∴BD=BG=4．
如圖③，當(dāng)BDG′G為菱形時(shí)，過(guò)點(diǎn)G′作G′M⊥BC于點(diǎn)M．
在Rt△G′DM中，∠G′DM=45°，DG′=4，
∴DM=G′M且DM²+G'M²=DG'²．
∴DM=G′M=2

2

，
∴BM=4+2

2

．連接G′B．
在Rt△G′BM中，G′B2=BM2+G′M2=(4+2

2

)2+(2

2

)2=32+16

2

．
②當(dāng)0≤x≤2

2

時(shí)，其重合部分為梯形，如圖②．
在Rt△AGF與Rt△ABC中，GF=

AG2+AF2

=2

2

，BC=

AB2+AC2

=6

2

．
過(guò)G點(diǎn)作GH垂直BC于點(diǎn)H，得GH=2

2

．
由①，知BD=GG′=x，DC=6

2

-x，G′F′=2

2

-x．
∴S_梯形=

(G′F′+DC)•GH

2

=

(2 2 -x+6 2 -x)•2 2

2

=16-2

2

x．
當(dāng)2

2

≤x≤6

2

時(shí)，其重合部分為等腰直角三角形，如圖③．
∵斜邊DC=6

2

-x，斜邊上的高為

1

2

(6

2

-x)，
∴S△=

1

2

(6

2

-x)•

1

2

(6

2

-x)=

1

4

(6

2

-x)2=

1

4

x2-3

2

x+18．

點(diǎn)評(píng)：在有關(guān)動(dòng)點(diǎn)的幾何問(wèn)題中，由于圖形的不確定性，我們常常需要針對(duì)各種可能出現(xiàn)的圖形對(duì)每一種可能的情形都分別進(jìn)行研究和求解．換句話說(shuō)，分類思想在動(dòng)態(tài)問(wèn)題中運(yùn)用最為廣泛．