Question

如圖，在正方形ABCD中，E和F分別是BC和CD上的點(diǎn)，AG⊥EF，∠EAF=45°，求證：AG=AD．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),正方形的性質(zhì)

專題：證明題

分析：延長CD到M，使DM=BE，連接AM，證△ABE≌△ADF，推出∠DAM=∠BAE，AE=AM，求出∠FAM=∠EAF，證△EAF≌△MAF，推出EF=MF，S_△EAF=S_△MAF，根據(jù)三角形面積公式求出即可．

解答：證明：
延長CD到M，使DM=BE，連接AM，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠B=∠ADF=∠ADM=∠BAD=90°，
∵∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠DAF=45°，
在△ABE和△ADF中

AB=AD ∠B=∠ADF BE=DF

∴△ABE≌△ADF，
∴∠DAM=∠BAE，AE=AM，
∴∠FAM=∠DAF+∠DAM=∠DAF+∠BAE=45°=∠EAF，
在△EAF和△MAF中

AE=AM ∠EAF=∠MAF AF=AF

∴△EAF≌△MAF，
∴EF=MF，S_△EAF=S_△MAF，
∴

1

2

EF×AG=

1

2

MF×AD，
∴AG=AD．

點(diǎn)評：本題考查了對全等三角形的性質(zhì)和判定，正方形的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力，題目比較好，有一定的難度．