Question

如圖，已知在?ABCD中，AB=4，∠DAB=135°，以AB為直徑的⊙O恰好經(jīng)過點(diǎn)C．
（1）判斷直線DC與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）求圖中陰影部分的面積．（結(jié)果保留π）

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定,平行四邊形的性質(zhì),扇形面積的計(jì)算

專題：計(jì)算題

分析：（1）連結(jié)OC，如圖，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得AD∥BC，CD∥AB，CD=AB=4，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可計(jì)算出∠B=180°-∠DAB=45°，由于OC=OB，則∠OCB=∠B=45°，所以∠BOC=90°，則∠OCD=90°，于是可根據(jù)切線的判定定理判斷CD為⊙O的切線；
（2）根據(jù)梯形和扇形的面積公式，利用陰影部分的面積=S_梯形AOCD-S_扇形AOC進(jìn)行計(jì)算即可．

解答：解：（1）直線DC與⊙O相切．理由如下：
連結(jié)OC，如圖，
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AD∥BC，CD∥AB，CD=AB=4，
∴∠DAB+∠B=180°，
∴∠B=180°-135°=45°，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠B=45°，
∴∠BOC=90°，
∴∠OCD=90°，
即OC⊥CD，
∴CD為⊙O的切線；
（2）陰影部分的面積=S_梯形AOCD-S_扇形AOC
=

1

2

（2+4）×2-

90•π•22

360

=6-π．

點(diǎn)評：本題考查了切線的判定：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．也考查了平行四邊形的性質(zhì)和扇形面積公式．