Question

【題目】如圖,四邊形ABCD中,∠ABC、∠ADC的平分線分別交CD、AB上點E、F.

(1)若∠ABC=∠ADC,求征:∠ADF=∠ABE;

(2)如圖，若∠A與∠C互樸，試探究∠ADF與∠ABE之同的數(shù)量夫系，并說明理由;

(3)如圖,在(2)的條件下，當(dāng)DA⊥AB時，試探究BE與DF的位置關(guān)系，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）∠ADF+∠ABE=90°，見解析；（3）DF∥BE，見解析．

【解析】

（1）由角平分線知∠ADF=∠ADC，∠ABE=∠ABC，結(jié)合∠ABC=∠ADC可得答案；
（2）由∠A+∠C=180°知∠ADC+∠ABC=180°，結(jié)合∠ADF=∠ADC，∠ABE=∠ABC，得∠ADF+∠ABE=（∠ADC+∠ABC）可得答案；
（3）根據(jù)四邊形內(nèi)角和得到∠ABC+∠ADC=180°，再根據(jù)角平分線定義得到∠ABE=∠ABC，∠ADF=∠ADC，則∠ABE+∠ADF=90°，加上∠AFD+∠ADF=90°，利用等角的余角相等得∠AFD=∠ABE，然后根據(jù)平行線的判定定理得到DF∥BE．

解：（1）∵DF平分∠ADC，BE平分∠ABC，
∴∠ADF=∠ADC，∠ABE=∠ABC，
又∠ABC=∠ADC，
∴∠ADF=∠ABE；
（2）∵∠A+∠C=180°，
∴∠ADC+∠ABC=180°，
又∠ADF=∠ADC，∠ABE=∠ABC，
∴∠ADF+∠ABE=（∠ADC+∠ABC）=90°；
（3）DF與BE平行．
理由如下：
∵DA⊥AB，
∴在四邊形ABCD中，∠A=∠C=90°，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∵∠ABC、∠ADC的平分線分別與CD、AB相交于點E、F．
∴∠ABE=∠ABC，∠ADF=∠ADC，
∴∠ABE+∠ADF=90°，
而∠AFD+∠ADF=90°，
∴∠AFD=∠ABE，
∴DF∥BE．

故答案為：（1）見解析；（2）∠ADF+∠ABE=90°，見解析；（3）DF∥BE，見解析．