Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線y=ax2+bx﹣8與x軸交于兩點A，B，與y軸交于點C，直線l經(jīng)過坐標原點O，與拋物線的一個交點為點D，與拋物線的對稱軸交于點E，連接CE，已知點A，D的坐標分別為（﹣2，0），（6，﹣8）．

（1）求拋物線的函數(shù)表達式；
（2）求點E的坐標；
（3）試探究在x軸下方的拋物線上是否存在點F，使得△FOB和△EOB的面積相等，若存在，請求出點F的坐標，若不存在，請說明理由；
（4）若點P是y軸負半軸上的一個動點，設其坐標為（0，m），直線PB與直線l交于點Q，請直接寫出：當m為何值時，△OPQ是等腰三角形．

Answer 1

【答案】
（1）

解：將點A（﹣2，0）、D（6，﹣8）代入y=ax2+bx﹣8，

得： ，

解得： ，

∴拋物線的函數(shù)表達式為y= x2﹣3x﹣8

（2）

解：設直線l的解析式為y=kx，

將D（6，﹣8）代入，得：6k=﹣8，

解得：k=﹣ ，

∴直線l的解析式為y=﹣ x，

又拋物線的對稱軸為x=﹣ =3，

∴點E的坐標為（3，﹣4）

（3）

解：存在，

設點F（x， x2﹣3x﹣8），

∵S△FOB=S△EOB，即 OByF= OByE，

∴yF=yE，即 x2﹣3x﹣8=﹣4，

解得：x=3± ，

∴點F的坐標為（3﹣ ，﹣4）或（3+ ，﹣4）

（4）

解：①如圖1

當OP=OQ時，△OPQ是等腰三角形．

∵點E坐標（3，﹣4），

∴OE= =5，過點E作直線ME∥PB，交y軸于點M，交x軸于點H．則 = ，

∴OM=OE=5，

∴點M坐標（0，﹣5）．

設直線ME的解析式為y=k1x﹣5，

∴3k1﹣5=﹣4，

∴k1= ，

∴直線ME解析式為y= x﹣5，

令y=0，得 x﹣5=0，解得x=15，

∴點H坐標（15，0），

∵MH∥PB，

∴ = ，即 = ，

∴m=﹣ ，

②如圖2，

當QO=QP時，△POQ是等腰三角形．

∵當x=0時，y= x2﹣3x﹣8=﹣8，

∴點C坐標（0，﹣8），

∴CE= =5，

∴OE=CE，

∴∠1=∠2，

∵QO=QP，

∴∠1=∠3，

∴∠2=∠3，

∴CE∥PB，

設直線CE交x軸于N，解析式為y=k2x﹣8，

∴3k2﹣8=﹣4，

∴k2= ，

∴直線CE解析式為y= x﹣8，

令y=0，得 x﹣8=0，

∴x=6，

∴點N坐標（6，0），

∵CN∥PB，

∴ = ，

∴ = ，

∴m=﹣ ．

③OP=PQ時，顯然不可能，理由，

∵D（6，﹣8），

∴∠1＜∠BOD，

∵∠OQP=∠BOQ+∠ABP，

∴∠PQO＞∠1，

∴OP≠PQ，

綜上所述，當m=﹣ 或﹣ 時，△OPQ是等腰三角形

【解析】（1）待定系數(shù)法求解可得；（2）求得直線l的解析式和拋物線對稱軸即可得出交點坐標；（3）根據(jù)△FOB和△EOB共底且面積相等可得yF=yE ， 即 x2﹣3x﹣8=﹣4，解之可得答案；（4）①如圖1中，當OP=OQ時，△OPQ是等腰三角形，過點E作直線ME∥PB，交y軸于點M，交x軸于點H，求出點M、H的坐標即可解決問題．②如圖2中，當QO=QP時，△POQ是等腰三角形，先證明CE∥PQ，根據(jù)平行線的性質(zhì)列出方程即可解決問題．