【題目】已知△ABC 中,AD 是∠BAC 的平分線,且 AD=AB,過點(diǎn) C 作 AD 的垂線,交 AD 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) H.
(1)如圖 1,若∠BAC=60°.
①直接寫出∠B 和∠ACB 的度數(shù);
②若 AB=2,求 AC 和 AH 的長(zhǎng);
(2)如圖 2,用等式表示線段 AH 與 AB+AC 之間的數(shù)量關(guān)系,并證明.
【答案】(1)①45°,②;(2)線段 AH 與 AB+AC 之間的數(shù)量關(guān)系:2AH=AB+AC.證明見解析.
【解析】
(1)①先根據(jù)角平分線的定義可得∠BAD=∠CAD=30°,由等腰三角形的性質(zhì)得∠B=75°,最后利用三角形內(nèi)角和可得∠ACB=45°;②如圖 1,作高線 DE,在 Rt△ADE 中,由∠DAC=30°,AB=AD=2 可得 DE=1,AE=, 在 Rt△CDE 中,由∠ACD=45°,DE=1,可得 EC=1,AC= +1,同理可得 AH 的長(zhǎng);(2)如圖 2,延長(zhǎng) AB 和 CH 交于點(diǎn) F,取 BF 的中點(diǎn) G,連接 GH,易證△ACH≌△AFH,則 AC=AF,HC=HF, 根據(jù)平行線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)可得AG=AH,再由線段的和可得結(jié)論.
(1)①∵AD 平分∠BAC,∠BAC=60°,
∴∠BAD=∠CAD=30°,
∵AB=AD,
∴∠B==75°,
∴∠ACB=180°﹣60°﹣75°=45°;
②如圖 1,過 D 作 DE⊥AC 交 AC 于點(diǎn) E,
在 Rt△ADE 中,∵∠DAC=30°,AB=AD=2,
∴DE=1,AE=,
在 Rt△CDE 中,∵∠ACD=45°,DE=1,
∴EC=1,
∴AC=+1,
在 Rt△ACH 中,∵∠DAC=30°,
∴CH=AC=
∴AH===;
(2)線段 AH 與 AB+AC 之間的數(shù)量關(guān)系:2AH=AB+AC.
證明:如圖 2,延長(zhǎng) AB 和 CH 交于點(diǎn) F,取 BF 的中點(diǎn) G,連接 GH.
易證△ACH≌△AFH,
∴AC=AF,HC=HF,
∴GH∥BC,
∵AB=AD,
∴∠ABD=∠ADB,
∴∠AGH=∠AHG,
∴AG=AH,
∴AB+AC=AB+AF=2AB+BF=2(AB+BG)=2AG=2AH.
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【題目】如圖,PA、PB是⊙O的兩條切線,切點(diǎn)分別為A、B,直線OP交⊙O于點(diǎn)D、E.
(1)求證:△PAO≌△PBO;
(2)已知PA=4,PD=2,求⊙O的半徑.
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【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,點(diǎn)D是邊AC上一點(diǎn),BC=BD=AD,則∠A的大小是( ).
A. 36° B. 54° C. 72° D. 30°
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【題目】已知:正方形 ABCD.
求作:正方形 ABCD 的外接圓.
作法:如圖,
(1)分別連接 AC,BD,交于點(diǎn) O;
(2)以點(diǎn) O 為圓心,OA 長(zhǎng)為半徑作⊙O,⊙O 即為所求作的圓.
請(qǐng)回答:該作圖的依據(jù)是__________________________________.
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【題目】如圖,已知矩形ABCD的邊AB=3,AD=8,頂點(diǎn)A、D分別在x軸、y軸上滑動(dòng),在矩形滑動(dòng)過程中,點(diǎn)C到原點(diǎn)O距離的最大值是______.
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【題目】若拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A,B兩點(diǎn),與y軸交于正半軸C點(diǎn),且AC=20,BC=15,∠ACB=90°,則此拋物線的解析式為__.
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【題目】如圖,在已知的△ABC中,按以下步驟作圖:①分別以A,B為圓心,以大于AB的長(zhǎng)為半徑作弧,兩弧相交于兩點(diǎn)EF;②作直線EF交BC于點(diǎn)D連接AD.若AD=AC,∠C=40°,則∠BAC的度數(shù)是( )
A.105°B.110°C.I15°D.120°
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【題目】如圖,點(diǎn)O為矩形ABCD的對(duì)稱中心,AB=4cm,BC=6cm,點(diǎn)E、F、G 分別從A、B、C三點(diǎn)同時(shí)出發(fā),沿矩形的邊按逆時(shí)針方向勻速運(yùn)動(dòng),點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)速度為1cm/s,點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)速度為2cm/s,當(dāng)點(diǎn)F到達(dá)點(diǎn)C(即點(diǎn)F與點(diǎn)C重合)時(shí),三個(gè)點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng).在運(yùn)動(dòng)過程中,△EBF關(guān)于直線EF的對(duì)稱圖形是△EB′F.設(shè)點(diǎn)E、F、G運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t(單位:s).
(1)若點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)速度為2 cm/s.
①當(dāng)t=______s時(shí),四邊形EBFB′為正方形;
②若以點(diǎn)E、B、F為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)F,C,G為頂點(diǎn)的三角形相似,求t的值;
(2)若存在實(shí)數(shù)t,使得點(diǎn)B′與點(diǎn)O重合,求出t的值;并求出點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)速度.
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【題目】如圖,梯形AOBC的頂點(diǎn)A,C在反比例函數(shù)圖象上,OA∥BC,上底邊OA在直線y=x上,下底邊BC交y軸于B(0,﹣4),則四邊形AOBC的面積為_____.
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