Question

【題目】如圖，點(diǎn)O為矩形ABCD的對稱中心，AB＝4cm，BC＝6cm，點(diǎn)E、F、G 分別從A、B、C三點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿矩形的邊按逆時(shí)針方向勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)速度為1cm/s，點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)速度為2cm/s，當(dāng)點(diǎn)F到達(dá)點(diǎn)C（即點(diǎn)F與點(diǎn)C重合）時(shí)，三個(gè)點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)．在運(yùn)動(dòng)過程中，△EBF關(guān)于直線EF的對稱圖形是△EB′F．設(shè)點(diǎn)E、F、G運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（單位：s）．

（1）若點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)速度為2 cm/s．

①當(dāng)t＝______s時(shí)，四邊形EBFB′為正方形；

②若以點(diǎn)E、B、F為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)F，C，G為頂點(diǎn)的三角形相似，求t的值；

（2）若存在實(shí)數(shù)t，使得點(diǎn)B′與點(diǎn)O重合，求出t的值；并求出點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)速度．

Answer 1

【答案】（1）①；②2或；（2）

【解析】

（1）利用正方形的性質(zhì)，得到BE=BF，列一元一次方程求解即可；

（2）△EBF與△FCG相似，分兩種情況，需要分類討論，逐一分析計(jì)算；

（3）先根據(jù)點(diǎn)B′與點(diǎn)O重合，利用勾股定理求出t的值，再一次利用勾股定理求出F的運(yùn)動(dòng)速度.

（1）若四邊形EBFB′為正方形，則BE=BF，BE=4-t，BF=2t，

即：4-t=2t，

解得t=；

故答案為：；

（2）分兩種情況，討論如下：

①若△EBF∽△FCG，

則有，即，

解得：t=2；

②若△EBF∽△GCF，

則有，即，

解得：t=（不合題意，舍去）或t=．

∴當(dāng)t=2s或t=s時(shí)，以點(diǎn)E、B、F為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)F，C，G為頂點(diǎn)的三角形相似；

（3）過點(diǎn)O作ON⊥AB于點(diǎn)N，

則在Rt△OEN中，OE=BE=4-t，EN=BE-BN=4-t-2=2-t，ON=3，

由勾股定理得：ON2+EN2=OE2，

即：32+（2-t）2=（4-t）2

解得：t=；

設(shè)F的運(yùn)動(dòng)速度為xcm/s，

過點(diǎn)O作OM⊥BC于點(diǎn)M，

則OF=BF=x，

則在Rt△OFM中，FM=BC-BF=3-x，OM=2，

由勾股定理得：OM2+FM2=OF2，

即：22+（3-x）2=（x）2

解得：x=，

故點(diǎn)B′與點(diǎn)O重合時(shí)，t的值為s，點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)速度為cm/s.