Question

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、C分別在y軸和x軸上，AB∥x軸，sinC=

4

5

，點(diǎn)P從O點(diǎn)出發(fā)，沿邊OA、AB、BC勻速運(yùn)動，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以1cm/s的速度沿邊CO勻速運(yùn)動．點(diǎn)P與點(diǎn)Q同時出發(fā)，其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的時間為t（s），△CPQ的面積為S（cm²），已知S與t之間的函數(shù)關(guān)系如圖2中曲線段OE、線段EF與曲線段FG給出．
（1）則點(diǎn)P的運(yùn)動速度為

 

cm/s，點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別為

 

，

 

；
（2）求曲線FG段的函數(shù)解析式；
（3）當(dāng)t為何值時，△CPQ的面積是四邊形OABC的面積的

4

13

？

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題,動點(diǎn)問題的函數(shù)圖象

專題：

分析：（1）利用函數(shù)圖象得出QC=2時S=4，進(jìn)而得出AO的長，再利用圖象變化規(guī)律得出CO的長，進(jìn)而得出B，C點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）利用三角形面積公式以及t的不同取值范圍進(jìn)而得出S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）利用當(dāng)△CPQ的面積是四邊形OABC的面積的

4

13

，則26×

4

13

=8，進(jìn)而代入函數(shù)解析式求出t的值．

解答：解：（1）如圖1，過點(diǎn)B作BN⊥CO于點(diǎn)N，
由圖象可得出：當(dāng)t=2秒時，S=4時，2秒后，圖象變?yōu)橐淮魏瘮?shù)，則此時P點(diǎn)在線段AB上移動，
∵S_△CPQ=

1

2

×QC×AO=4，QC=2時S=4，
∴AO=4，
∴點(diǎn)P的運(yùn)動速度為2cm/s，
∵sinC=

4

5

，AO=4，
∴BN=4，則BC=5，
∴NC=3，
當(dāng)4.5秒時，圖象再次發(fā)生變化，則P點(diǎn)在AB上移動了2.5秒，移動距離的為5cm，
故AB=5，則B（5，4），CO=8，故C（8，0），
故答案為：2，（5，4）（8，0）；

（2）當(dāng)0≤t≤2時，S=

1

2

CQ×OP=t²，
故此時拋物線解析式為：S=t²；
如圖2，當(dāng)2≤t≤4.5時，
S=

1

2

PM×QC
=4×

1

2

×t=2t，
故此時直線解析式為：S=2t；
如圖3，當(dāng)4.5≤t≤7時，
S=

1

2

×PM×QC
=

1

2

×QC×PCsinC
=

1

2

t[5-（2t-9）]×sinC=

1

2

t[5-（2t-9）]×

4

5

，
故S=-

4

5

t²+

28

5

t；

（3）∵S_{四邊形AOCB}=

1

2

（AB+CO）×AO=

1

2

×4×（5+8）=26，
當(dāng)△CPQ的面積是四邊形OABC的面積的

4

13

，則26×

4

13

=8，
∴S_△CPQ=8，
當(dāng)2t=8
解得：t=4，
當(dāng)8=-

4

5

t²+

28

5

t，
解得：t₁=2（不合題意舍去），t₂=5，
故t=4或t=5時，△CPQ的面積是四邊形OABC的面積的

4

13

．

點(diǎn)評：此題主要考查了動點(diǎn)問題的函數(shù)圖象以及三角形面積求法和待定系數(shù)法求函數(shù)解析式等知識，利用分類討論得出是解題關(guān)鍵．