Question

如圖，BD、CD平分∠ABC、∠ACB，CE⊥BD交BD延長線于點E，求證：∠DCE=∠CAD．

Answer 1

考點：三角形內角和定理,三角形的外角性質

專題：證明題

分析：根據(jù)角平分線的性質，可得∠DAC=

1

2

∠BAC，∠DBC=

1

2

∠ABC，∠DCB=

1

2

∠ACB，根據(jù)角的和差得∠DAC=90°-∠DBC-∠DCB，根據(jù)三角形的外角的性質，可得∠EDC=∠DBC+∠DCB，根據(jù)等量代換，可得答案．

解答：證明：∵D是角平分線的交點，
∴∠DAC=

1

2

∠BAC，∠DBC=

1

2

∠ABC，∠DCB=

1

2

∠ACB，
∴∠DAC+∠DBC+∠DCB=90°，
∴根據(jù)角的和差，得∠DAC=90°-∠DBC-∠DCB．
∵CE⊥BD交BD延長線于點E，∴∠E=90°，
∴∠DCE=90°-∠EDC．
∵∠EDC是△DBC的外角，
∴∠EDC=∠DBC+∠DCB．
∴∠EDC=90°-∠DBC-∠DCB，
∴∠DAC=∠ECD．

點評：本題考查了三角形的內角和，利用了角平分線的性質，三角形的內角和，三角形外角的性質，綜合性較強，題目稍難．