【題目】在△ABC中,∠CAB=90°,AD⊥BC于點D,點E為AB的中點,EC與AD交于點G,點F在BC上.
(1)如圖1,AC:AB=1:2,EF⊥CB,求證:EF=CD.
(2)如圖2,AC:AB=1: ,EF⊥CE,求EF:EG的值.

【答案】
(1)證明:如圖1,

在△ABC中,∵∠CAB=90°,AD⊥BC于點D,

∴∠CAD=∠B=90°﹣∠ACB.

∵AC:AB=1:2,

∴AB=2AC,

∵點E為AB的中點,

∴AB=2BE,

∴AC=BE.

在△ACD與△BEF中,

,

∴△ACD≌△BEF,

∴CD=EF,即EF=CD


(2)解:如圖2,作EH⊥AD于H,EQ⊥BC于Q,

∵EH⊥AD,EQ⊥BC,AD⊥BC,

∴四邊形EQDH是矩形,

∴∠QEH=90°,

∴∠FEQ=∠GEH=90°﹣∠QEG,

又∵∠EQF=∠EHG=90°,

∴△EFQ∽△EGH,

∴EF:EG=EQ:EH.

∵AC:AB=1: ,∠CAB=90°,

∴∠B=30°.

在△BEQ中,∵∠BQE=90°,

∴sinB= = ,

∴EQ= BE.

在△AEH中,∵∠AHE=90°,∠AEH=∠B=30°,

∴cos∠AEH= = ,

∴EH= AE.

∵點E為AB的中點,

∴BE=AE,

∴EF:EG=EQ:EH= BE: AE=1: = :3.


【解析】(1)根據(jù)同角的余角相等得出∠CAD=∠B,根據(jù)AC:AB=1:2及點E為AB的中點,得出AC=BE,再利用AAS證明△ACD≌△BEF,即可得出EF=CD;(2)作EH⊥AD于H,EQ⊥BC于Q,先證明四邊形EQDH是矩形,得出∠QEH=90°,則∠FEQ=∠GEH,再由兩角對應(yīng)相等的兩三角形相似證明△EFQ∽△EGH,得出EF:EG=EQ:EH,然后在△BEQ中,根據(jù)正弦函數(shù)的定義得出EQ= BE,在△AEH中,根據(jù)余弦函數(shù)的定義得出EH= AE,又BE=AE,進而求出EF:EG的值.

練習(xí)冊系列答案
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(1)求k的值;

(2)若點P(x,y)是該直線上的一個動點,且在第二象限內(nèi)運動,試寫出OPA的面積S關(guān)于x的函數(shù)解析式,并寫出自變量x的取值范圍.

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(1)請用直尺和圓規(guī)畫一個“好玩三角形”;
(2)如圖在Rt△ABC中,∠C=90°,tanA= ,求證:△ABC是“好玩三角形”;
(3)如圖2,已知菱形ABCD的邊長為a,∠ABC=2β,點P,Q從點A同時出發(fā),以相同速度分別沿折線AB﹣BC和AD﹣DC向終點C運動,記點P經(jīng)過的路程為s.
①當(dāng)β=45°時,若△APQ是“好玩三角形”,試求 的值;
②當(dāng)tanβ的取值在什么范圍內(nèi),點P,Q在運動過程中,有且只有一個△APQ能成為“好玩三角形”.請直接寫出tanβ的取值范圍.
(4)(本小題為選做題)
依據(jù)(3)的條件,提出一個關(guān)于“在點P,Q的運動過程中,tanβ的取值范圍與△APQ是‘好玩三角形’的個數(shù)關(guān)系”的真命題(“好玩三角形”的個數(shù)限定不能為1)

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如圖,以為軸,把翻折,可以變到的位置;

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像這樣,其中一個三角形是由另一個三角形按平行移動、翻折、旋轉(zhuǎn)等方法變成的.這種只改變位置,不改變形狀大小的圖形變換,叫做三角形的全等變換.

回答下列問題:

在圖中,可以通過平行移動、翻折、旋轉(zhuǎn)中的哪一種方法怎樣變化,使變到的位置;

指圖中線段之間的關(guān)系,為什么?

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(2)經(jīng)商談,商店給予學(xué)校購買一個該品牌文具盒贈送一個該品牌鋼筆的優(yōu)惠,如果學(xué)校需要鋼筆的個數(shù)是文具盒個數(shù)的2倍還多8個,且學(xué)校購買文具盒和鋼筆的總費用不超過670元,那么該學(xué)校最多可購買多少個該品牌文具盒?

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