【題目】如圖，正方形ABCD中，∠EAF=45°，連接對角線BD交AE于M，交AF于N，若DN=1，BM=2，那么MN=_____．證明：DN2+BM2=MN2．

【答案】

【解析】解：如圖，延長CB到G，使BG=DF，連接AG，在AG截取AH=AN，連接MH、BH．∵四邊形ABCD為正方形，∴AB=BC=CD=AD，∠BDC=∠ABD=45°，∠BAD=∠ADF=∠ABE=∠ABG=90°．在△ABG和△ADF中，，∴△ABG≌△ADF（SAS），∴∠BAG=∠DAF，∠AFD=∠G，AF=AG，∴∠GAE=∠BAG+∠BAE=∠DAF+∠BAE=∠BAD﹣∠EAF=90°﹣45°=45°=∠EAF．在△AMN和△AMH中，，∴△AMN≌△AMH（SAS），∴MN=MH．∵AF=AG，AN=AH，∴FN=AF﹣AN=AG﹣AH=GH．在△DFN和△BGH中，，∴△DFN≌△BGH（SAS），∴∠GBH=∠NDF=45°，DN=BH，∴∠MBH=∠ABH+∠ABD=∠ABG﹣∠GBH+∠ABD=90°﹣45°+45°=90°，∴BM2+DN2=BM2+BH2=MH2=MN2．

當DN=1，BM=2時，12+22=MN2，∴MN=．∵MN＞0，∴MN=．

故答案為：．

練習冊系列答案
相關習題

科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】拋物線y=ax2+bx+3（a≠0）經(jīng)過點A（﹣1，0），B（，0），且與y軸相交于點C．

（1）求這條拋物線的表達式；

（2）求∠ACB的度數(shù)；

（3）設點D是所求拋物線第一象限上一點，且在對稱軸的右側，點E在線段AC上，且DE⊥AC，當△DCE與△AOC相似時，求點D的坐標．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，△ABC的三個頂點的位置如圖所示，點A′的坐標是（﹣2，2），現(xiàn)將△ABC平移，使點A變換為點A′，點B′、C′分別是B、C的對應點．

（1）請畫出平移后的△A′B′C′（不寫畫法）；

（2）并直接寫出點B′、C′的坐標：B′（　 　）、C′（　 　）；

（3）若△ABC內(nèi)部一點P的坐標為（a，b），則點P的對應點P′的坐標是（　 　 ）．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】（12分）菱形ABCD中，兩條對角線AC，BD相交于點O，∠MON+∠BCD=180°，∠MON繞點O旋轉，射線OM交邊BC于點E，射線ON交邊DC于點F，連接EF．

（1）如圖1，當∠ABC=90°時，△OEF的形狀是 ；

（2）如圖2，當∠ABC=60°時，請判斷△OEF的形狀，并說明理由；

（3）在（1）的條件下，將∠MON的頂點移到AO的中點O′處，∠MO′N繞點O′旋轉，仍滿足∠MO′N+∠BCD=180°，射線O′M交直線BC于點E，射線O′N交直線CD于點F，當BC=4，且時，直接寫出線段CE的長．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，等邊△ABC的邊長為2cm，點P從點A出發(fā)，以1cm/s的速度沿AC向點C運動，到達點C停止；同時點Q從點A出發(fā)，以2cm/s的速度沿AB﹣BC向點C運動，到達點C停止，設△APQ的面積為y（cm2），運動時間為x（s），則下列最能反映y與x之間函數(shù)關系的圖象是（　�。�

A. B.

C. D.

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某校計劃把一塊近似于直角三角形的廢地開發(fā)為生物園，如圖所示，∠ACB=90°，BC=60米，∠A=36°．

（1）若入口處E在AB邊上，且與A、B等距離，求CE的長（精確到個位）；

（2）若D點在AB邊上，計劃沿線段CD修一條水渠．已知水渠的造價為50元/米，水渠路線應如何設計才能使造價最低，求出最低造價．

（其中sin36°=0.5878，cos36°=0.8090，tan36°=0.7265）

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知，拋物線y=ax2+ax+b（a≠0）與直線y=2x+m有一個公共點M（1，0），且a＜b．

（1）求b與a的關系式和拋物線的頂點D坐標（用a的代數(shù)式表示）；

（2）直線與拋物線的另外一個交點記為N，求△DMN的面積與a的關系式；

（3）a=﹣1時，直線y=﹣2x與拋物線在第二象限交于點G，點G、H關于原點對稱，現(xiàn)將線段GH沿y軸向上平移t個單位（t＞0），若線段GH與拋物線有兩個不同的公共點，試求t的取值范圍．

【答案】（1）b=﹣2a，頂點D的坐標為（﹣，﹣）；（2）；（3） 2≤t＜．

【解析】試題分析：（1）把M點坐標代入拋物線解析式可得到b與a的關系，可用a表示出拋物線解析式，化為頂點式可求得其頂點D的坐標；
（2）把點代入直線解析式可先求得m的值，聯(lián)立直線與拋物線解析式，消去y，可得到關于x的一元二次方程，可求得另一交點N的坐標，根據(jù)a<b，判斷a<0，確定D、M、N的位置，畫圖1，根據(jù)面積和可得的面積即可；
（3）先根據(jù)a的值確定拋物線的解析式，畫出圖2，先聯(lián)立方程組可求得當GH與拋物線只有一個公共點時，t的值，再確定當線段一個端點在拋物線上時，t的值，可得：線段GH與拋物線有兩個不同的公共點時t的取值范圍．

試題解析：(1)∵拋物線有一個公共點M(1,0)，

∴a+a+b=0，即b=2a，

∴拋物線頂點D的坐標為

(2)∵直線y=2x+m經(jīng)過點M(1,0)，

∴0=2×1+m，解得m=2，

∴y=2x2，

則

得

∴(x1)(ax+2a2)=0,

解得x=1或

∴N點坐標為

∵a<b，即a<2a，

∴a<0，

如圖1，設拋物線對稱軸交直線于點E，

∵拋物線對稱軸為

設△DMN的面積為S，

(3)當a=1時，

拋物線的解析式為：

有

解得：

∴G(1,2)，

∵點G、H關于原點對稱，

∴H(1,2)，

設直線GH平移后的解析式為：y=2x+t，

x2x+2=2x+t，

x2x2+t=0，

△=14(t2)=0，

當點H平移后落在拋物線上時,坐標為(1,0)，

把(1,0)代入y=2x+t，

t=2，

∴當線段GH與拋物線有兩個不同的公共點,t的取值范圍是

【題型】解答題
【結束】
24

【題目】在△ABC中，AB=AC，點D是直線BC上的一點（不與B，C重合），以AD為一邊在AD的右側作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，連接CE，設∠BAC=α，∠BCE=β．

（1）如圖①，當點D在線段BC上，如果α=60°，β=120°；

如圖②，當點D在線段BC上，如果α=90°，β=90°

如圖③，當點D在線段BC上，如果α，β之間有什么樣的關系？請直接寫出．

（2）如圖④，當點D在射線BC上，（1）中結論是否成立？請說明理由．

（3）如圖⑤，當點D在射線CB上，且在線段BC外，（1）中結論是否成立？若不成立，請直接寫出你認為正確的結論．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖1，在矩形紙片ABCD中，AB=3cm，AD=5cm，折疊紙片使B點落在邊AD上的E處，折痕為PQ，過點E作EF∥AB交PQ于F，連接BF．

（1）求證：四邊形BFEP為菱形；

（2）當點E在AD邊上移動時，折痕的端點P、Q也隨之移動；

①當點Q與點C重合時（如圖2），求菱形BFEP的邊長；

②若限定P、Q分別在邊BA、BC上移動，求出點E在邊AD上移動的最大距離．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，正五邊形的邊長為2，連接對角線AD、BE、CE，線段AD分別與BE和CE相交于點M、N，給出下列結論：①∠AME=108°，②AN2=AMAD；③MN=3-；④S△EBC=2-1，其中正確的結論是_________（把你認為正確結論的序號都填上）．

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