Question

設(shè)二次函數(shù)y=x²+（a-2）x-2a+3的圖象為C，函數(shù)y=ax的圖象為l．
（1）當(dāng)a=3時(shí)，求C與l的交點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）求證圖象C恒過定點(diǎn)，并求出這個(gè)定點(diǎn)．
（3）若圖象C恒在圖象l的上方，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)與不等式（組）,二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征

專題：

分析：（1）將a的值代入求出兩函數(shù)解析式，再聯(lián)立兩函數(shù)解析式求解即可；
（2）整理成關(guān)于a的形式，再根據(jù)恒過定點(diǎn)與a的值無關(guān)求出x的值，然后求出y的值，再寫出定點(diǎn)坐標(biāo)即可；
（3）求出兩函數(shù)圖象沒有交點(diǎn)時(shí)的a的取值范圍即可．

解答：解：（1）a=3時(shí)，y=x²+x-3，y=3x，
聯(lián)立

y=x2+x-3 y=3x

，
解得

x1=-1 y1=-3

，

x2=3 y2=9

，
所以，C與l的交點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，-3），（3，9）；

（2）y=x²+（a-2）x-2a+3=x²+a（x-2）-2x+3，
∵圖象C恒過定點(diǎn)，
∴x-2=0，
∴x=2，
y=2²-2×2+3=3，
∴函數(shù)圖象C恒過定點(diǎn)（2，3）；

（3）聯(lián)立兩函數(shù)解析式消掉y得，x²+（a-2）x-2a+3=ax，
整理得，x²-2x-2a+3=0，
∵圖象C恒在圖象l的上方，
∴方程沒有實(shí)數(shù)解，
∴△=（-2）²-4×（-2a+3）＜0，
解得a＜1，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是a＜1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)與不等式組，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)對(duì)點(diǎn)坐標(biāo)特征，難點(diǎn)在于理解（2）恒過定點(diǎn)與a的值無關(guān)，（3）根據(jù)二次函數(shù)與一次函數(shù)的性質(zhì)判斷出兩個(gè)函數(shù)沒有交點(diǎn)時(shí)的情況即為所求．