Question

【題目】如圖，已知P是⊙O外一點(diǎn)，PO交⊙O于點(diǎn)C，OC＝CP＝4，弦AB⊥OC，劣弧AB的度數(shù)為120°，連接PB．

（1）求BC的長(zhǎng)；

（2）求證：PB是⊙O的切線．

Answer 1

【答案】（1）4；（2）詳見解析

【解析】

（1）首先連接OB，由弦AB⊥OC，劣弧AB的度數(shù)為120°，易證得△OBC是等邊三角形，則可求得BC的長(zhǎng)；

（2）由OC＝CP＝4，△OBC是等邊三角形，可求得BC＝CP，即可得∠P＝∠CBP，又由等邊三角形的性質(zhì)，∠OBC＝60°，∠CBP ＝30°，則可證得OB⊥BP，繼而證得PB是⊙O的切線．

（1）連接OB，

∵弦AB⊥OC，劣弧AB的度數(shù)為120°，

∴弧BC與弧AC的度數(shù)為：60°，

∴∠BOC＝60°，

∵OB＝OC，

∴△OBC是等邊三角形，

∴BC＝OC＝4；

（2）證明：∵OC＝CP，BC＝OC，

∴BC＝CP，

∴∠CBP＝∠CPB，

∵△OBC是等邊三角形，

∴∠OBC＝∠OCB＝60°，

∴∠CBP＝30°，

∴∠OBP＝∠CBP+∠OBC＝90°，

∴OB⊥BP，

∵點(diǎn)B在⊙O上，

∴PB是⊙O的切線．