【題目】已知拋物線,通過畫圖發(fā)現(xiàn),無論b取何值,拋物線總會經(jīng)過兩個定點;
(1)直接寫出這兩個定點的坐標________ ,_________;
(2)若將此拋物線向右平移單位,再向上平移(b>0)個單位,平移后的拋物線頂點都在某個函數(shù)的圖象上,求這個新函數(shù)的解析式(不必寫自變量取值范圍);
(3)若拋物線與直線y=x–3有兩個交點A與B,且,求b的取值范圍.
【答案】(1)(0,-3),(-1,0);(2);(3)或
【解析】
(1)y=bx2+(b3)x3=b(x2+x)3x3,函數(shù)過定點,則x2+x=0,即可求解;
(2)原拋物線頂點坐標為(,),平移后為(,),即可求解;
(3)根據(jù)題意分b>0和b<0,根據(jù)AB的長分別求出B點坐標,代入求出相應b的取值即可求解.
解:(1)y=bx2+(b3)x3=b(x2+x)3x3,
函數(shù)過定點,則x2+x=0,
解得x=0或x=1,
∴拋物線總會經(jīng)過兩個定點(0,3)、(1,0),
故答案為(0,3)、(1,0);
(2)原拋物線頂點橫坐標為:,
縱坐標為:,
即(,),
平移后新拋物線頂點橫坐標為:,縱坐標為:,即(,)
∴
∴
即為平移后的拋物線頂點所在的函數(shù)解析式為:;
(3)由與直線y=x–3交于點A(0,-3)
當b>0時,如圖當AB=時,
過點A作AM∥x軸,BM∥y軸交于點M
∵AM⊥BM,∠BAM=45°,AB=
∴MA=MB=ABsin45°=1,
∴B(1,-2)
把B(1,-2)代入y=bx2+(b–3)x–3
得b=2.
AB=時,作BM⊥x軸交于點M
同理得AM=BM=4
∴B(4,1)
把B(4,1)代入y=bx2+(b–3)x–3 得b=,
.
當時,,同理可得,
代入,x無解;
當,同理可得B(-4,-7)
代入解得
∴,
綜上,b的取值為或.
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【題目】在平面直角坐標系xOy中,對于點P(x,y)和Q(x,y′),給出如下定義:
若,則稱點Q為點P的“可控變點”.
例如:點(1,2)的“可控變點”為點(1,2),點(﹣1,3)的“可控變點”為點(﹣1,﹣3).
(1)點(﹣5,﹣2)的“可控變點”坐標為 ;
(2)若點P在函數(shù)的圖象上,其“可控變點”Q的縱坐標y′是7,求“可控變點”Q的橫坐標;
(3)若點P在函數(shù)()的圖象上,其“可控變點”Q的縱坐標y′ 的取值范圍是,求實數(shù)a的取值范圍.
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【題目】攀枝花得天獨厚,氣候宜人,農(nóng)產(chǎn)品資源極為豐富,其中晚熟芒果遠銷北上廣等大城市.某水果店購進一批優(yōu)質晚熟芒果,進價為10元/千克,售價不低于15元/千克,且不超過40元/每千克,根據(jù)銷售情況,發(fā)現(xiàn)該芒果在一天內的銷售量(千克)與該天的售價(元/千克)之間的數(shù)量滿足如下表所示的一次函數(shù)關系.
銷售量(千克) | … | 32.5 | 35 | 35.5 | 38 | … |
售價(元/千克) | … | 27.5 | 25 | 24.5 | 22 | … |
(1)某天這種芒果售價為28元/千克.求當天該芒果的銷售量
(2)設某天銷售這種芒果獲利元,寫出與售價之間的函數(shù)關系式.如果水果店該天獲利400元,那么這天芒果的售價為多少元?
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【題目】某數(shù)學拓展課研究小組經(jīng)過市場調查,發(fā)現(xiàn)某種衣服的銷量與售價是一次函數(shù)關系,具體信息如下表:
售價(元/件) | 200 | 210 | 220 | 230 | … |
月銷量(件) | 200 | 180 | 160 | 140 | … |
已知該運動服的進價為每件160元,售價為x元,月銷量為y件.
(1)求出y關于x的函數(shù)關系式;
(2)若銷售該運動服的月利潤為w元,求出w關于x的函數(shù)關系式,并求出月利潤最大時的售價;
(3)由于運動服進價降低了a元,商家決定回饋顧客,打折銷售,結果發(fā)現(xiàn),此時月利潤最大時的售價比調整前月利潤最大時的售價低10元,則a的值是多少?
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【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,C是⊙O上一點,過點O作OD⊥AB,交BC的延長線于D,交AC于點E,F是DE的中點,連接CF.
(1)求證:CF是⊙O的切線.
(2)若∠A=22.5°,求證:AC=DC.
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【題目】如圖,△ABC中,A,B兩個頂點在x軸上方,點C的坐標是(﹣1,0),以點C為位似中心,在x軸的下方作△ABC的位似圖形,并把△ABC的邊長放大到原來的2倍,得到△A'B'C',設點B的對應點B'的橫坐標為2,則點B的橫坐標為( )
A.﹣1B.C.﹣2D.
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【題目】已知∠EDF的頂點D在△ABC的邊AB所在直線上(不與A,B重合),DE交AC所在直線于點M,DF交BC所在直線于點N,設AM=x,BN=y,記△ADM的面積為S1,△BND的面積為S2.
(1)如圖(1),當△ABC是等邊三角形,AB=6,∠EDF=∠A,且DE∥BC,AD=2時,S1S2= ;
(2)在(1)的條件下,將點D沿AB平移,使AD=4,再將∠EDF繞點D旋轉如圖(2)所示位置,
①求y與x的函數(shù)關系式;②求S1S2的值;
(3)當△ABC是等腰三角形時,設∠B=∠A=∠EDF=α,如圖(3),當點D在BA的延長線上運動時,設的AD=a,BD=b,直接寫出S1S2的關系式(用含a、b和α的三角函數(shù)表示)
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【題目】在平面直角坐標系 XOY中,對于任意兩點 (,)與 (,)的“非常距離”,給出如下定義: 若 ,則點 與點 的“非常距離”為 ;若 ,則點 與點的“非常距離”為 .
例如:點 (1,2),點 (3,5),因為 ,所以點 與點 的“非常距離”為 ,也就是圖1中線段 Q與線段 Q長度的較大值(點 Q為垂直于 y軸的直線 Q與垂直于 x軸的直線 Q的交點)。
(1)已知點 A(-,0), B為 y軸上的一個動點,①若點 A與點 B的“非常距離”為2,寫出一個滿足條件的點 B的坐標;②直接寫出點 A與點 B的“非常距離”的最小值;
(2)已知 C是直線 上的一個動點,①如圖2,點 D的坐標是(0,1),求點 C與點 D的“非常距離”的最小值及相應的點 C的坐標; ②如圖3, E是以原點 O為圓心,1為半徑的圓上的一個動點,求點 C與點 E的“非常距離”的最小值及相應的點 E和點 C的坐標。
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