Question

如圖1，P是∠AOB的平分線(xiàn)OC上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)分別作OA，OB的垂線(xiàn)，垂足分別為點(diǎn)D和點(diǎn)H，E是線(xiàn)段上一點(diǎn)是線(xiàn)段OD上一點(diǎn)，且DE=FH；

（1）證明：點(diǎn)P在線(xiàn)段EF的中垂線(xiàn)上；
（2）如果點(diǎn)E在射線(xiàn)DA上，如圖2，其余的條件都不變，那么（1）的結(jié)論是否依然成立？

Answer 1

考點(diǎn)：角平分線(xiàn)的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)

專(zhuān)題：

分析：（1）根據(jù)角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得PD=PH，再利用“HL”證明Rt△OPH和Rt△OPD全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得OD=OH，然后求出OE=OF，再根據(jù)到線(xiàn)段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)證明；
（2）連接PE、PF，根據(jù)角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得PD=PH，再利用“邊角邊”證明△PED和△PFH全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得PE=PF，根據(jù)到線(xiàn)段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)證明．

解答：（1）證明：∵OP是∠AOB的平分線(xiàn)，PD⊥OA，PH⊥OB，
∴PD=PH，
在Rt△OPH和Rt△OPD中，

OP=OP PD=PH

，
∴Rt△OPH≌Rt△OPD（HL），
∴OD=OH，
∵DE=FH，
∴OD-DE=OH-FH，
即OE=OF，
∴點(diǎn)P在線(xiàn)段EF的中垂線(xiàn)上；

（2）解：結(jié)論依然成立．
理由如下：連接PE、PF，
∵PD⊥OA，PH⊥OB，
∴∠PDE=∠PHF=90°，
∵OP是∠AOB的平分線(xiàn)，PD⊥OA，PH⊥OB，
∴PD=PH，
在△PED和△PFH中，

PD=PH ∠PDE=∠PHF=90° DE=FH

，
∴△PED≌△PFH（SAS），
∴PE=PF，
∴點(diǎn)P在線(xiàn)段EF的中垂線(xiàn)上．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并求出三角形全等是解題的關(guān)鍵．