Question

如圖，點(diǎn)A在x軸正半軸上，OA=2，∠AOB=30°，BA⊥x軸于A．
（1）畫(huà)出△AOB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后的圖形；
（2）直接寫(xiě)出旋轉(zhuǎn)變換后點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′的坐標(biāo)；
（3）求旋轉(zhuǎn)過(guò)程中線段OA、OB所掃過(guò)的重疊部分的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：作圖-旋轉(zhuǎn)變換,扇形面積的計(jì)算,坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)

專題：作圖題

分析：（1）在y軸正半軸上截取OA′=OA，過(guò)點(diǎn)A′作A′B′⊥y軸，截取A′B′=AB，連接OB′，即為旋轉(zhuǎn)后的三角形；
（2）解直角三角形求出AB，再根據(jù)點(diǎn)B′在第二象限寫(xiě)出坐標(biāo)即可；
（3）求出∠A′OB，再根據(jù)圖形，重疊部分為以O(shè)A′為半徑以∠A′OB為圓心角的扇形，然后利用扇形的面積公式列式計(jì)算即可得解．

解答：解：（1）△AOB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后的△A′OB′如圖所示；

（2）∵OA=2，∠AOB=30°，
∴AB=OA•tan30°=2×

3

3

=

2 3

3

，
∴點(diǎn)B′（-

2 3

3

，2）；

（3）∵∠AOB=30°，
∴∠A′OB=90°-30°=60°，
∴線段OA、OB所掃過(guò)的重疊部分的面積=

60•π•22

360

=

2

3

π．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用旋轉(zhuǎn)變換作圖，扇形的面積公式，坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)，熟記旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)確定出點(diǎn)A′、B′的位置是解題的關(guān)鍵．