Question

【題目】在日常生活中，觀察各種建筑物的地板，就能發(fā)現(xiàn)地板常用各種正多邊形地磚鋪砌成美麗的圖案．也就是說，使用給定的某些正多邊形，能夠拼成一個(gè)平面圖形，既不留下空隙，又不互相重疊(在幾何里叫作平面鑲嵌)．這顯然與正多邊形的內(nèi)角大小有關(guān)．當(dāng)圍繞一點(diǎn)拼在一起的幾個(gè)正多邊形的內(nèi)角加在一起恰好組成一個(gè)周角(360°)時(shí)，就拼成了一個(gè)平面圖形．

（1）請(qǐng)根據(jù)下列圖形，填寫表中空格．

（2）如圖所示，如果限于用一種正多邊形鑲嵌，哪幾種正多邊形能鑲嵌成一個(gè)平面圖形．

（3）不能用正五邊形形狀的材料鋪滿地面的理由是什么？

（4）從正三角形、正四邊形、正六邊形中選一種，再在其他正多邊形中選一種，請(qǐng)畫出用這兩種不同的正多邊形鑲嵌成的一個(gè)平面圖形(草圖)；并探索這兩種正多邊形共能鑲嵌成幾種不同的平面圖形？說明你的理由．

Answer 1

【答案】（1）60°，90°，108°，120° ，；（2）正三角形、正四邊形(或正方形)、正六邊形；（3）理由見解析；（4）選正方形和正八邊形，圖見解析，符合條件的圖形只有一種，理由見解析．

【解析】

（1）根據(jù)正多邊形的性質(zhì)、多邊形的內(nèi)角和即可得；

（2）根據(jù)正多邊形的幾個(gè)內(nèi)角加在一起能否等于即可得；

（3）根據(jù)題（2）的求解過程可知，當(dāng)時(shí)，不為整數(shù)，即可說明問題；

（4）選正方形和正八邊形；然后根據(jù)“幾個(gè)正多邊形的內(nèi)角加在一起恰好組成一個(gè)周角”列出方程，根據(jù)其整數(shù)解的個(gè)數(shù)即可得出答案．

（1）當(dāng)正多邊形的邊數(shù)為3時(shí)，正三角形每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為

當(dāng)正多邊形的邊數(shù)為4時(shí)，正四邊形每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為

當(dāng)正多邊形的邊數(shù)為5時(shí)，正五邊形每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為

當(dāng)正多邊形的邊數(shù)為6時(shí)，正六邊形每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為

當(dāng)正多邊形的邊數(shù)為n時(shí)，正n邊形每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為

故答案為：；；；；；

（2）設(shè)這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為n

由題意、（1）的結(jié)論得，當(dāng)為正整數(shù)時(shí)，求出的n值即符合題意

要使為正整數(shù)，則4為的倍數(shù)

因此，或2或4，即或4或6

故如果限于用一種正多邊形鑲嵌，正三角形、正四邊形（或正方形）、正六邊形都能鑲嵌成一個(gè)平面圖形；

（3）由（2）知，當(dāng)時(shí)，不為整數(shù)

故不能用正五邊形形狀的材料鋪滿地面；

（4）選正方形和正八邊形，畫圖結(jié)果如下所示：

設(shè)在一個(gè)頂點(diǎn)周圍有個(gè)正方形的角，個(gè)正八邊形的角

則，應(yīng)是方程的正整數(shù)解

即的正整數(shù)解

解得只有一組

故符合條件的圖形只有一種．