【題目】在正方形中,是邊上一點,
(1)將繞點按順時針方向旋轉。使、重合,得到,如圖(a)所示.觀察可知:與相等的線段是__________,__________.
(2)如圖(b)所示,正方形中,、分別是、邊上的點,且,試通過旋轉的方式說明:.
(3)在(2)的條件下,連接分別交、于點、,如圖(c)所示.判斷、、之間的關系,直接寫出結論.
【答案】(1),;(2)見解析;(3)
【解析】
(1)如圖(a),直接根據旋轉的性質得到DE=BF,∠AFB=∠AED;
(2)將△ADQ繞點A按順時針方向旋轉90°,則AD與AB重合,得到△ABE,根據旋轉的性質得∠EAQ=∠BAD=90°,AE=AQ,BE=DQ,而∠PAQ=45°,則∠PAE=45°,再根據全等三角形的判定方法得到△APE≌△APQ,則PE=PQ,于是PE=PB+BE=PB+DQ,即可得到DQ+BP=PQ;
(3)根據正方形的性質有∠ABD=∠ADB=45°,將△ADN繞點A按順時針方向旋轉90°,則AD與AB重合,得到△ABK,根據旋轉的性質得∠ABK=∠ADN=45°,BK=DN,AK=AN,與(2)一樣可證明△AMN≌△AMK得到MN=MK,由于∠MBK=∠MBA+∠KBA=45°+45°=90°,得到△BMK為直角三角形,根據勾股定理得BK2+BM2=MK2,然后利用等相等代換即可得到BM2+DN2=MN2.
(1)如圖(a).
∵△ADE繞點A按順時針方向旋轉,使AD、AB重合,得到△ABF.
∵DE=BF,∠AFB=∠AED.
故答案為:BF,AED;
(2)將△ADQ繞點A按順時針方向旋轉90°,則AD與AB重合,得到△ABE,如圖2,
則∠D=∠ABE=90°,即點E、B、P共線,∠EAQ=∠BAD=90°,AE=AQ,BE=DQ.
∵∠PAQ=45°,
∴∠PAE=45°,
∴∠PAQ=∠PAE,
在△APE和△APQ中,
∵,
∴△APE≌△APQ(SAS),
∴PE=PQ,
而PE=PB+BE=PB+DQ,
∴DQ+BP=PQ;
(3)BM2+DN2=MN2.證明如下:
∵四邊形ABCD為正方形,
∴∠ABD=∠ADB=45°,
如圖3,將△ADN繞點A按順時針方向旋轉90°,則AD與AB重合,得到△ABK,
則∠ABK=∠ADN=45°,BK=DN,AK=AN,
與(2)一樣可證明△AMN≌△AMK,得到MN=MK.
∵∠MBK=∠MBA+∠KBA=45°+45°=90°,
∴△BMK為直角三角形,
∴BK2+BM2=MK2,
∴BM2+DN2=MN2.
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【題目】2019年10月1日,中華人民共和國70年華誕之際,王梓涵和學校國旗護衛(wèi)隊的其他同學們趕到學校舉行了簡樸而降重的升旗儀式.傾聽著雄壯的國歌聲,目送著五星紅旗級緩升起,不禁心潮澎湃,愛國之情油然而生.愛動腦筋的王梓涵設計了一個方案來測量學校旗桿的高度.將升旗的繩子拉直到末端剛好接觸地面,測得此時繩子末端距旗桿底端2米,然后將繩子末端拉直到距離旗桿5m處,測得此時繩子末端距離地面高度為1m,最后根據剛剛學習的勾股定理就能算出旗桿的高度為( 。
A.10mB.11mC.12mD.13m
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【題目】毎年6月,學校門口的文具店都會購進畢業(yè)季暢銷商品進行銷售.已知校門口“小光文具店“在5月份就售出每本8元的A種品牌同學錄90本,每本10元的B種品牌同學錄175本.
(1)某班班長幫班上同學代買A種品牌和B種品牌同學錄共27本,共花費246元,請問班長代買A種品牌和B種品牌同學錄各多少本?
(2)該文具店在6月份決定將A種品牌同學錄每本降價3元后銷售,B種品牌同學錄每本降價a%(a>0)后銷售.于是,6月份該文具店A種品牌同學錄的銷量比5月份多了a%,B種品牌同學錄的銷量比5月份多了(a+20)%,且6月份A、B兩種品牌的同學錄的銷售總額達到了2550元,求a的值.
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【題目】如圖,以點P(-1,0)為圓心的圓,交x軸于B、C兩點(B在C的左側),交y軸于A、D兩點(A在D的下方),AD=,將△ABC繞點P旋轉180°,得到△MCB.
(1)求B、C兩點的坐標;
(2)請在圖中畫出線段MB、MC,并判斷四邊形ACMB的形狀(不必證明),求出點M的坐標;
(3)動直線l從與BM重合的位置開始繞點B順時針旋轉,到與BC重合時停止,設直線l與CM交點為E,點Q為BE的中點,過點E作EG⊥BC于G,連接MQ、QG.請問在旋轉過程中∠MQG的大小是否變化?若不變,求出∠MQG的度數;若變化,請說明理由.
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【題目】如圖,正方形ABCD的面積為16,△ABE是等邊三角形,點E在正方形ABCD內,在對角線BD上有一點P,使PC+PE的和最小,則這個最小值為_______.
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于D,將AB邊沿AD折疊,發(fā)現(xiàn)B點的對應點E正好在AC的垂直平分線上,則∠C=_______
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【題目】某公司試銷一種成本單價為50元/件的新產品,規(guī)定試銷時銷售單價不低于成本單價,又不高于80元/件,經試銷調查,發(fā)現(xiàn)銷售量y(件)與銷售單價x(元/件)可近似看作一次函數y=kx+b的關系(如圖所示)
(I)根據圖象,求一次函數y=kx+b的解析式,并寫出自變量x的取值范圍;
(Ⅱ)該公司要想每天獲得最大的利潤,應把銷售單價定為多少?最大利潤值為多少?
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【題目】甲、乙兩校參加學生英語口語比賽,兩校參賽人數相等.比賽結束后,發(fā)現(xiàn)學生成績分別為7分、8分、9分、10分(滿分為10分),乙校平均分是8.3分,乙校的中位數是8分.依據統(tǒng)計數據繪制了如下尚不完整的甲校成績統(tǒng)計表和乙校成績統(tǒng)計圖;
甲校成績統(tǒng)計表
分數 | 7分 | 8分 | 9分 | 10分 |
人數 | 11 | 0 | ■ | 8 |
(1)請你將乙校成績統(tǒng)計圖直接補充完整;
(2)請直接寫出甲校的平均分是 ,甲校的中位數是 ,甲校的眾數是 ,從平均分和中位數的角度分析 校成績較好(填“甲”或“乙”).
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【題目】在日常生活中,觀察各種建筑物的地板,就能發(fā)現(xiàn)地板常用各種正多邊形地磚鋪砌成美麗的圖案.也就是說,使用給定的某些正多邊形,能夠拼成一個平面圖形,既不留下空隙,又不互相重疊(在幾何里叫作平面鑲嵌).這顯然與正多邊形的內角大小有關.當圍繞一點拼在一起的幾個正多邊形的內角加在一起恰好組成一個周角(360°)時,就拼成了一個平面圖形.
(1)請根據下列圖形,填寫表中空格.
(2)如圖所示,如果限于用一種正多邊形鑲嵌,哪幾種正多邊形能鑲嵌成一個平面圖形.
(3)不能用正五邊形形狀的材料鋪滿地面的理由是什么?
(4)從正三角形、正四邊形、正六邊形中選一種,再在其他正多邊形中選一種,請畫出用這兩種不同的正多邊形鑲嵌成的一個平面圖形(草圖);并探索這兩種正多邊形共能鑲嵌成幾種不同的平面圖形?說明你的理由.
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