Question

如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，AB=AD，∠BAD=100°，∠BCD=30°，證明：AC=BC．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰梯形的判定

專題：證明題

分析：作等邊△BCE，分別延長(zhǎng)BA，CE交于F，連結(jié)BD，ED，F(xiàn)D，求出∠ABD=∠ADB=∠DBC=40°，∠ABE=∠DBE=20°，∠BCD=∠ECD=30°，∠BFC=40°，根據(jù)SAS證△BCD≌△ECD，推出BD=ED，∠CED=∠CBD=40°，求出四邊形FBDE為等腰梯形，推出DF=BE=BC，F(xiàn)E=BD=ED求出∠BFD=∠FDE=∠DFE=

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∠DEC=20°，F(xiàn)A=FD=CB，根據(jù)SAS證△FAD≌△CBA，推出CA=FD即可．

解答：證明：如圖，作等邊△BCE，分別延長(zhǎng)BA，CE交于F，連結(jié)BD，ED，F(xiàn)D，
∵AD∥BC，AD=AB，∠BAD=100°，∠BCD=30°，
∴∠ABD=∠ADB=∠DBC=40°，
∵∠EBC=∠BCE=∠BEC=60°，
∴∠ABE=∠DBE=20°，∠BCD=∠ECD=30°，∠BFC=40°，
在△BCD和△ECD中，

BC=CE ∠BCD=∠ECD CD=CD

，
∴△BCD≌△ECD（SAS），
∴BD=ED，∠CED=∠CBD=40°，
∴∠BED=∠EBD=∠FBE，
∴FB∥ED
∵∠BFE=∠FBD，
∴四邊形FBDE為等腰梯形，
∴DF=BE=BC，F(xiàn)E=BD=ED
∴∠BFD=∠FDE=∠DFE=

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∠DEC=20°，
∵∠FAD=∠ABC=80°
∴∠ADF=80°=∠FAD
∴FA=FD=CB
在△FAD與△CBA中，

FA=CB ∠FAD=∠CBA AD=BA

，
∴△FAD≌△CBA（SAS）
∴CA=FD
∴AC=BC．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，梯形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力，題目比較好，難度偏大．