Question

如圖，⊙O的面積是25π，△ABC內(nèi)接于⊙O，a、b、c分別是△ABC的∠A、∠B、∠C的對邊（a＞b），且a²+b²=c²．sinA、sinB分別是關(guān)于x的方程（m+5）x²-（2m-5）x+m-8=0的兩根．
（1）求m的值；
（2）求△ABC的三邊長．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)a²+b²=c²可知△ABC是直角三角形，再根據(jù)韋達定理得出關(guān)于m的方程，求出m的值即可；
（2）根據(jù)⊙O的面積是25π求出AB的長，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可得出a、b的長．

解答：解：（1）∵a²+b²=c²，
∴△ABC是直角三角形，
∵sinA、sinB分別是關(guān)于x的方程（m+5）x²-（2m-5）x+m-8=0的兩根，
∴

sinA+sinB= 2m-5 m+5 ≤2 sinA•sinB= m-8 m+5 ≥0 sinB=cosA

，
∵（sinA+cosA）²=（sinA）²+（cosA）²+2sinAcosA，即（

2m-5

m+5

）²=1+2×

m+8

m+5

，整理得，m²-24m+80=0，
∴m₁=20，m₂=4（舍去）；

（2）∵⊙O的面積是25π，
∴25π=（

AB

2

）²π，
∴AB=10．
將m=20代入原方程得，25x²-35x+12=0，
∵sinA=

a

c

=

4

5

，sinB=

b

c

=

3

5

，c=AB=10，
∴a=8，b=6．

點評：本題考查的是圓的綜合題，熟知勾股定理及銳角三角函數(shù)的定義是解答此題的關(guān)鍵．