Question

【題目】如圖，在中，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，連接，作與相切于點(diǎn)，在邊上取一點(diǎn)，使，連接．

（1）判斷直線與的位置關(guān)系，并說明理由；

（2）當(dāng)，時(shí)，求的半徑．

Answer 1

【答案】（1）直線與相切，理由見解析；（2）的半徑為1．

【解析】

（1）如圖（見解析），先根據(jù)圓的切線的性質(zhì)、中位線定理得出的半徑OE等于CD，再根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)可得，然后由圓的切線的判定即可得；

（2）設(shè)的半徑為，則，先根據(jù)線段中點(diǎn)的定義得出，再根據(jù)勾股定理可得AC的長，然后根據(jù)中位線定理可得OD的長，最后在中利用勾股定理即可得．

（1）直線與相切，理由如下：

如圖，連接OE，過點(diǎn)O作于點(diǎn)P

相切于點(diǎn)

，OE為的半徑

點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)

四邊形ODCE是矩形

在和中，

，即OP為的半徑

則直線與相切；

（2）設(shè)的半徑為，則

點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)

在中，

由（1）已證：

在中，，即

解得或（不符題意，舍去）

故的半徑為1．