Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB交x軸于點(diǎn)B（6，0），交y軸于點(diǎn)C（0，6），直線AB與直線OA：y＝x相交于點(diǎn)A，動(dòng)點(diǎn)M在線段OA和射線AC上運(yùn)動(dòng)．

（1）求直線AB的解析式．

（2）求△OAC的面積．

（3）是否存在點(diǎn)M，使△OMC的面積是△OAC的面積的？若存在求出此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x+6；（2）12；（3）存在滿足條件的點(diǎn)M，其坐標(biāo)為（1，）或（1，5）或（﹣1，7）

【解析】

（1）由B、C坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法可求得直線AB的解析式；

（2）聯(lián)立直線AB和直線OA解析式可求得A點(diǎn)坐標(biāo)，則可求得△OAC的面積；

（3）當(dāng)△OMC的面積是△OAC的面積的時(shí)，根據(jù)面積公式即可求得M的橫坐標(biāo)，然后代入解析式即可求得M的坐標(biāo)．

解：（1）設(shè)直線AB的解析式是y＝kx+b，

根據(jù)題意得，解得，

∴直線AB的解析式為y＝﹣x+6；

（2）聯(lián)立直線OA和直線AB的解析式可得，解得，

∴A（4，2），

∴S△OAC＝×6×4＝12；

（3）由題意可知S△OMC＝S△OAC＝×12＝3，

設(shè)M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t，則有S△OMC＝×OC|t|＝3|t|，

∴3|t|＝3，解得t＝1或t＝﹣1，

當(dāng)點(diǎn)t＝﹣1時(shí)，可知點(diǎn)M在線段AC的延長(zhǎng)線上，

∴y＝﹣（﹣1）+6＝7，此時(shí)M點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，7）；

當(dāng)點(diǎn)t＝1時(shí)，可知點(diǎn)M在線段OA或線段AC上，

在y＝x中，x＝1可得y＝，代入y＝﹣x+6可得y＝5，

∴M的坐標(biāo)是（1，）；

在y＝﹣x+6中，x＝1則y＝5，

∴M的坐標(biāo)是（1，5）；

綜上可知存在滿足條件的點(diǎn)M，其坐標(biāo)為（1，）或（1，5）或（﹣1，7）．