Question

在△ABC中，已知∠A、∠B、∠C的對邊a、b、c滿足a+c=2b，且∠C=2∠A，求sinA的值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角形邊角關(guān)系

專題：計算題

分析：延長AC到D，使CD=CB=a，作BE⊥AD于E，如圖，由CB=CD=a得∠CBD=∠D，根據(jù)三角形外角性質(zhì)得∠ACB=2∠D，易得∠A=∠D，則BA=BD=c，而BE⊥AD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得AE=

1

2

（a+b），在Rt△ABE中，根據(jù)余弦的定義得cosA=

AE

AB

=

a+b

2c

，加上余弦定理cosA=

b2+c2-a2

2bc

，得到

b2+c2-a2

2bc

=

a+b

2c

，整理得c²-a²=ab，然后把c=2b-a代入可計算得a=

4

5

b，則c=

6

5

b，接著可計算出cosA=

3

4

，最后利用同角的正弦和余弦的關(guān)系求∠A的正弦值．

解答：解：延長AC到D，使CD=CB=a，作BE⊥AD于E，如圖，
∵CB=CD=a，
∴∠CBD=∠D，
∴∠ACB=2∠D，
∵∠ACB=2∠A，
∴∠A=∠D，
∴BA=BD=c，
而BE⊥AD，
∴AE=

1

2

AD=

1

2

（a+b），
在Rt△ABE中，cosA=

AE

AB

=

a+b 2

c

=

a+b

2c

，
∵cosA=

b2+c2-a2

2bc

，
∴

b2+c2-a2

2bc

=

a+b

2c

，
∴c²-a²=ab，
∵a+c=2b，
∴c=2b-a，
∴（2b-a）²-a²=ab
∴a=

4

5

b，
∴c=2b-

4

5

b=

6

5

b，
∴cosA=

4 5 b+b

2× 6 5 b

=

3

4

，
∴sinA=

1-cos2A

=

1-( 3 4 )2

=

7

4

．

點(diǎn)評：本題考查了三角形的邊角關(guān)系：等邊對等角；三邊三角滿足余弦定理和正弦定理．