Question

已知：關(guān)于x的一元二次方程（b-c）x²+（c-a）x+a-b=0有兩個相等的實數(shù)根．求證：2b=a+c．

Answer 1

考點：根的判別式,一元二次方程的定義

專題：證明題

分析：若一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則根的判別式△=b²-4ac=0，即（c-a）²-4（b-c）（a-b）=0，再利用完全平方公式與多項式的乘法化簡得到（a-2b+c）²=0，進而得到2b=a+c．

解答：證明：∵關(guān)于x的一元二次方程（b-c）x²+（c-a）x+a-b=0有兩個相等的實數(shù)根，
∴△=（c-a）²-4（b-c）（a-b）=0，
∴c²-2ac+a²-4（ab-b²-ac+bc）=0，
∴a²+4b²+c²-4ab+2ac-4bc=0，
∴（a-2b+c）²=0，
∴a-2b+c=0，
∴2b=a+c．

點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）的根的判別式△=b²-4ac．當△＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當△=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當△＜0時，方程沒有實數(shù)根．