Question

【題目】如圖，直線y=﹣x+1與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)P是第一象限拋物線上的一點(diǎn)，連接PA、PB、PO，

①若△POA的面積是△POB面積的倍．求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

②當(dāng)四邊形AOBP的面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）點(diǎn)M為直線AB上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn)O、B、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）拋物線解析式為；

（2）①P（，1），②P（1，0.5）；

（3）滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)（1+， （1﹣））或（1﹣， （1+））或（1，0.5）或M（﹣1-），（3+））或M（﹣1+），（3﹣））；

【解析】分析：（1）根據(jù)題意，先確定出點(diǎn)A，B坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求出拋物線解析

（2）設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，①用△POA的面積是△POB面積的倍，建立方程求解即可；

②過(guò)點(diǎn)P作PH∥OB交AB于點(diǎn)H，設(shè)出H 點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用S四邊形=S△AOB+ S△PAB求解即可；

（3）分OB為邊和為對(duì)角線兩種情況進(jìn)行求解，①當(dāng)OB為平行四邊形的邊時(shí)，則有MN∥OB，MN=OB，；

②當(dāng)OB為對(duì)角線時(shí)，OB與MN互相平分，設(shè)交點(diǎn)為H，易得OH=BH，MH=NH，設(shè)出M，N坐標(biāo)，建立方程組分別進(jìn)行求解即可.

本題解析：（1）∵直線y=﹣ x+1與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，

∴A（2，0），B（0，1），

∵拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，

∴ ，

∴

∴拋物線解析式為

（2）①由（1）知，A（2，0），B（0，1），∴OA=2，OB=1，

由（1）知，拋物線解析式為

∵點(diǎn)P是第一象限拋物線上的一點(diǎn)，

∴設(shè)P（a，﹣a2+a+1），（（a＞0，﹣a2+a+1＞0），

∴S△POA=OA×Py=×2×（﹣a2+a+1）=﹣a2+a+1

S△POB=OB×Px=×1×a=a

∵△POA的面積是△POB面積的倍．

∴﹣a2+a+1=×a，

∴a = 或a=（舍）

∴P（，1）；

②由（1）知，拋物線解析式為

∵點(diǎn)P是第一象限拋物線上的一點(diǎn)，

∴設(shè)P（m，﹣m2+m+1），（0<m<2），

過(guò)點(diǎn)P作PH∥OB交AB于點(diǎn)H

∵點(diǎn)H在直線AB上，

∴設(shè)H（m，﹣ m+1），

∴PH=﹣m2+m+1﹣（﹣m+1）=m2﹣2m，

S四邊形=S△AOB+ S△PAB =-（m-1）2+2

∴P（1，0.5）；

（3）即：滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)（1+， （1﹣））或（1﹣ ， （1+））或（1，0.5）或M（﹣1-），（3+））或M（﹣1+），（3﹣）；