Question

如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=

1

4

x²+bx+c與x軸交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B右側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C（0，-3），且OA=2OC．
（1）求這條拋物線的表達(dá)式及頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）求tan∠MAC的值；
（3）如果點(diǎn)D在這條拋物線的對(duì)稱軸上，且∠CAD=45°，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)與y軸的交點(diǎn)C的坐標(biāo)（0，-3）就可以求出OC的值及c的值，進(jìn)而求出OA的值及A的坐標(biāo)，由待定系數(shù)法就可以求出b的值而求出解析式及定點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）如圖1，過(guò)點(diǎn)M作MH⊥x軸，垂足為點(diǎn)H，交AC于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)N作NE⊥AM于點(diǎn)E，垂足為點(diǎn)E．在Rt△AHM中，HM=AH=4，就可以求出AM的值，再由待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，就可以求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，進(jìn)而求出MN的值，由勾股定理就可以求出ME及NE的值，從而求出AE的值就可以得出結(jié)論；
（3）如圖2，分類討論，當(dāng)D點(diǎn)在AC上方時(shí)，根據(jù)角之間的關(guān)系就可以求出∠D₁AH=∠CAM，當(dāng)D點(diǎn)在AC下方時(shí)，∠MAC=∠AD₂M就可以求出點(diǎn)D的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵C（0，-3），
∴OC=3．y=

1

4

x²+bx-3．
∵OA=2OC，
∴OA=6．
∵a=

1

4

＞0，點(diǎn)A在點(diǎn)B右側(cè)，拋物線與y軸交點(diǎn)C（0，-3）．
∴A（6，0）．
∴0=

1

4

×36+6b-3，
∴b=-1．
∴y=

1

4

x²-x-3，
∴y=

1

4

（x-2）²-4，
∴M（2，-4）．
答：拋物線的解析式為y=

1

4

x²-x-3，M的坐標(biāo)為（2，-4）；
（2）如圖1，過(guò)點(diǎn)M作MH⊥x軸，垂足為點(diǎn)H，交AC于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)N作NE⊥AM于點(diǎn)E，垂足為點(diǎn)E．
∴∠AHM=∠NEM=90°．
在Rt△AHM中，HM=AH=4，由勾股定理，得
AM=4

2

，
∴∠AMH=∠HAM=45°．
設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，由題意，得

0=6k+b -3=b

，
解得：

k= 1 2 b=-3

，
∴直線AC的表達(dá)式為y=

1

2

x-3．
當(dāng)x=2時(shí)，y=-2，
∴N（2，-2）．
∴MN=2．
∵∠NEM=90°，∠NME=45°，
∴∠MNE=∠NME=45°，
∴NE=ME．
在Rt△MNE中，
∴NE²+ME²=NM²，
∴ME=NE=

2

．
∴AE=AM-ME=3

2

在Rt△AEN中，tan∠MAC=

NE

AE

=

2

3 2

=

1

3

．
答：tan∠MAC=

1

3

；
（3）如圖2，①當(dāng)D點(diǎn)在AC上方時(shí)，
∵∠CAD₁=∠D₁AH+∠HAC=45°，且∠HAM=∠HAC+∠CAM=45°，
∴∠D₁AH=∠CAM，
∴tan∠D₁AH=tan∠MAC=

1

3

．
∵點(diǎn)D₁在拋物線的對(duì)稱軸直線x=2上，
∴D₁H⊥AH，
∴AH=4．
在Rt△AHD₁中，
D₁H=AH•tan∠D₁AH=4×

1

3

=

4

3

．
∴D₁（2，

4

3

）；
②當(dāng)D點(diǎn)在AC下方時(shí)，
∵∠D₂AC=∠D₂AM+∠MAC=45°，且∠AMH=∠D₂AM+∠AD₂M=45°，
∴∠MAC=∠AD₂M．
∴tan∠AD₂H=tan∠MAC=

1

3

．
在Rt△D₂AH中，D₂H=

AH

tan∠AD2H

=4÷

1

3

=12．
∴D₂（2，-12）．
綜上所述：D₁（2，

4

3

）；D₂（2，-12）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式的運(yùn)用，一次函數(shù)的解析式的運(yùn)用，二次函數(shù)的頂點(diǎn)式的運(yùn)用，等腰直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，三角函數(shù)值的運(yùn)用，解答時(shí)求出函數(shù)的解析式是關(guān)鍵，靈活運(yùn)用等腰直角三角形的性質(zhì)求解是難點(diǎn)．