Question

已知△ABC，BE、CF、AD分別是△ABC的三條中線，證明：三條中線交于一點(diǎn)G．

Answer 1

考點(diǎn)：三角形的重心

專題：證明題

分析：延長(zhǎng)AG與BC相交于點(diǎn)D′，過(guò)點(diǎn)B作BH∥CF交AG的延長(zhǎng)線于H，根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得G是AH的中點(diǎn)，再根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得GE∥CH，從而得到四邊形BHCG是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形對(duì)角線互相平分可得BD′=CD′，從而得到點(diǎn)D′與點(diǎn)D重合．

解答：證明：如圖，延長(zhǎng)AG與BC相交于點(diǎn)D′，過(guò)點(diǎn)B作BH∥CF交AG的延長(zhǎng)線于H，
∵CF是△ABC的中線，
∴G是AH的中點(diǎn)，
∵BE是△ABC的中線，
∴GE是△ACH的中位線，
∴GE∥CH，
∴四邊形BHCG是平行四邊形，
∴BD′=CD′，
∵AD是△ABC的中線，
∴點(diǎn)D′與點(diǎn)D互相重合，
∴AD經(jīng)過(guò)BE、CF的交點(diǎn)G，
即三條中線交于一點(diǎn)G．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的重心，三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，平行四邊形的判定與性質(zhì)，作輔助線，考慮利用三角形的中位線定理是解題的關(guān)鍵．