Question

【題目】如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)，對稱軸為直線，平行于軸的直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)在對稱軸左側(cè)，.

I.求此拋物線的解析式；

Ⅱ.已知在軸上存在一點(diǎn)，使得的周長最小，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

Ⅲ.若過點(diǎn)的直線將的面積分成2:3兩部分，試求直線的解析式.

Answer 1

【答案】Ⅰ.；Ⅱ.點(diǎn)的坐標(biāo)為；Ⅲ.直線解析式為.

【解析】

I.由對稱軸直線x=2，以及A點(diǎn)坐標(biāo)確定出b與c的值，即可求出拋物線解析式；

Ⅱ.由拋物線的對稱軸及BC的長，確定出B與C的橫坐標(biāo)，代入拋物線解析式求出縱坐標(biāo)，確定出B與C坐標(biāo)，再求出點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)，連接交x軸于點(diǎn)D，則點(diǎn)D即為所求，利用待定系數(shù)法求出的解析式，即可解決問題．

Ⅲ.利用待定系數(shù)法求出直線AB解析式，過Q作QH⊥y軸，與y軸交于點(diǎn)H，BC與y軸交于點(diǎn)M，由已知面積之比求出QH的長，確定出Q橫坐標(biāo)，代入直線AB解析式求出縱坐標(biāo)，確定出Q坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出直線l的解析式．

解：I.由題意得：，，

解得.

∴此拋物線的解析式為.

Ⅱ.∵拋物線對稱軸為直線，，

∴橫坐標(biāo)為，橫坐標(biāo)為1.

把代入拋物線解析式得：，

∴，.

如圖，點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn)，

圖

設(shè)直線解析式為，

把坐標(biāo)代入得：，即.

令，解得，即點(diǎn)的坐標(biāo)為.

Ⅲ.如圖，設(shè)直線解析式為，

圖b

把坐標(biāo)代入得，即.

設(shè)直線與交于點(diǎn)，過作軸，垂足為，設(shè)與軸交于點(diǎn)，

可得.

∴.

∵直線將面積分成2：3兩部分，

∴.

∴.

∵，

∴或.

當(dāng)時(shí)，把代入直線解析式得，

此時(shí)，直線解析式為.

當(dāng)時(shí)，把代入直線解析式得，

此時(shí)，直線解析式為.