Question

如圖1，等腰△ABC中，∠BAC=120°，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角α（0°＜α＜60°）得到△AB₁C₁，連結(jié)BB₁，AB₁交BC于E點(diǎn)，B₁C₁分別交BC、AC于D、F兩點(diǎn)．
（1）求證：△ABE≌△AC₁F；
（2）當(dāng)旋轉(zhuǎn)角α=40°時(shí)，判斷BE與BB₁數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)說明理由；
（3）如圖2，連結(jié)AD，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角α為何值時(shí)，判斷此時(shí)四邊形ABDC₁是菱形，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),菱形的判定

專題：

分析：（1）根據(jù)等腰三角形性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求出∠ABC=∠ACB=∠C₁=∠AB₁C₁=30°，求出∠BAE=∠C₁AF，根據(jù)ASA推出△ABE≌△AC₁F即可．
（2）根據(jù)等腰三角形性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求出∠ABB₁=∠AB₁B=70°，根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出∠BEB₁=70°，推出∠BEB₁=∠B₁即可．
（3）當(dāng)旋轉(zhuǎn)角α為30°時(shí)，四邊形ABDC₁是菱形，求出∠BAC₁=150°，根據(jù)平行線的判定推出AC₁∥BC，AB∥C₁D，根據(jù)菱形的判定推出即可．

解答：（1）證明：∵△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠ABC=∠ACB=∠C₁=∠AB₁C₁=30°，
∵∠BAC=∠B₁AC₁=120°，
∴都減去∠B₁AC得：∠BAE=∠C₁AF，
在△ABE和△AC₁F中，

∠ABE=∠C1 AB=AC′ ∠BAE=∠FAC1

，
∴△ABE≌△AC₁F（ASA）．

（2）解：BE=BB₁，
理由是：∵α=40°，
∴∠BAE=40°，
∵AB=AB₁，
∴∠ABB₁=∠AB₁B=

1

2

×（180°-40°）=70°，
∵∠BAE=40°，∠ABC=30°，
∴∠BEB₁=30°+40°=70°，
∴∠BEB₁=∠B₁，
∴BE=BB₁．

（3）解：當(dāng)旋轉(zhuǎn)角α為30°時(shí)，四邊形ABDC₁是菱形，
理由是：如圖②，∵α=30°，
∴∠BAC₁=120°+30°=150°，
∵∠B=∠C₁=30°，
∴∠B+∠BAC₁=180°，∠C₁+∠BAC₁=180°，
∴AC₁∥BC，AB∥C₁D，
∴四邊形ABDC₁是平行四邊形，
∵AB=AC₁，
∴四邊形ABDC₁是菱形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和判定，三角形內(nèi)角和定理，菱形的判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力．