Question

如圖，PAB為⊙O的割線，PC切⊙O于C，CD為⊙O的直徑，DB交PO于E．求證：AC⊥CE．

Answer 1

考點：切線的性質(zhì)

專題：證明題

分析：取AB的中點，利用垂徑定理和切線的性質(zhì)可證得P、F、O、C四點共圓，可證得△DOE∽△ACE，再結(jié)合條件可證明△DCE∽△ABC，結(jié)合圓周角定理可證得∠DBC=90°，可證得結(jié)論．

解答：證明：取AB的中點F，連接OF、CF、BC，
由垂徑定理可知OF⊥AB，
∵PC是⊙O的切線，
∴∠OFP=90°=∠PCO，
∴P、F、O、C四點共圓，
∴∠1=∠2，
∴∠DOE=∠AFC，且∠D=∠A，
∴△DOE∽△AFC，
∴

DE

AC

=

OD

AF

=

2OD

2AF

=

CD

AB

，
又∵∠A=∠D，
∴△DCE∽△ABC，
∴∠DCE=∠ABC，
∴∠ACE=∠3+∠DCE=∠4+∠ABC=∠DBC=90°，
∴AC⊥CE．

點評：本題考查了切線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和判定，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是能正確作出輔助線，得出∠ACE=∠DBC，題目比較好，難度適中．