Question

有一塊直角三角形紙片，兩直角邊AC=6cm，BC=8cm．
（1）如圖1，現(xiàn)將紙片沿直線AD折疊，使直角邊AC落在斜邊AB上，且與AB重合，則BD=

 

；
（2）如圖2，若將直角C沿MN折疊，使點(diǎn)C落在AB邊的中點(diǎn)H上，點(diǎn)M、N分別在AC、BC上，則AM²、BN²與MN²之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的接了呢（提示：過點(diǎn)B作BP∥AC，與MH的延長線交于點(diǎn)P）．

Answer 1

考點(diǎn)：翻折變換（折疊問題）

專題：

分析：（1）求出AB的長度，運(yùn)用角平分線的性質(zhì)即可解決問題．
（2）如圖，作輔助線；證明△PBH∽△MAH，進(jìn)而證明PB=AM，PH=MH；證明PN=MN，運(yùn)用勾股定理即可解決問題．

解答：解：（1）∵∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴由勾股定理得：
AB²=AC²+BC²，而AC=6，BC=8，
∴AB=10；由題意得：
AD平分∠BAC，
∴BD：（8-BD）=AB：AC，
∴BD=5（cm）．
故答案為5cm．
（2）如圖，過點(diǎn)B作BP∥AC，交EH的延長線于點(diǎn)P，連接NP；
則∠PBN+∠C=180°，△PBH∽△MAH；而∠C=90°，
∴∠PBN=90°，

PB

AM

=

PH

MH

=

BH

AH

，而AH=BH，
∴PB=AM，PH=MH；而NH⊥MP，
∴PN=MN；由勾股定理得：PN²=PB²+BN²，
∴MN²=AM²+BN²．

點(diǎn)評：該題以直角三角形為載體，以翻折變換為方法，以考查翻折變換的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定及其性質(zhì)等幾何知識點(diǎn)為核心構(gòu)造而成；解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造直角三角形、全等三角形的性質(zhì)．