【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線AB與y軸交于點(diǎn)A,與x軸交于點(diǎn)B,且∠BAO=30°,現(xiàn)將△OAB沿直線AB翻折,得到△CAB. 連接OC交AB于點(diǎn)D.
(1)求證:AD⊥OC,OD=OA ;
(2)若Rt△AOB的斜邊AB=,則OB=_____;OA=_____;點(diǎn)C的坐標(biāo)為_______;
(3)在(2)的條件下,動點(diǎn)F從點(diǎn)O出發(fā),以2個(gè)單位長度/秒的速度沿折線O﹣A﹣C向終點(diǎn)C運(yùn)動,設(shè)△FOB的面積為S(S>0),點(diǎn)F的運(yùn)動時(shí)間為t秒,求S與t的關(guān)系式,并直接寫出t的取值范圍;
(4)在(3)的條件下,過點(diǎn)B作BE⊥x軸,交AC于點(diǎn)E,在動點(diǎn)F的運(yùn)動過程中,當(dāng)t為何值時(shí),△BEF是以BE為腰的等腰三角形?
【答案】 (1)見解析; (2),6, (,3) (3) ;(4) 當(dāng)t=1或3時(shí),△BEF是以BE為腰的等腰三角形.
【解析】試題分析:(1)根據(jù)折疊的性質(zhì)和等邊三角形的判定得到△OAC是等邊三角形;結(jié)合等邊三角形的“三線合一”的性質(zhì)證得結(jié)論;
(2)如圖1,過C點(diǎn)作CH⊥x軸于H點(diǎn),在直角△OCH中,利用三角函數(shù)求得CH和OH,則C的坐標(biāo)即可求得;
(3)分成當(dāng)0<t≤3和3<t≤6兩種情況,利用三角形的面積公式即可求解;
(4)分成B是頂角頂點(diǎn)和E是頂角頂點(diǎn)兩種情況進(jìn)行討論.
試題解析:
(1)由折疊得性質(zhì)得: CA=OA, CB=OB,∠BAC=∠BAO=30°,∠ACB=∠AOB=90°,
∴ ∠ABC=∠ABO=60°,
∴ △OAC是等邊三角形
∴OC=OA ,
∵ ∠DAC=∠DAO ,
∴ AD⊥OC且OD=OC ;
∴ AD⊥OC且OD=OA ;
(2) OB=; OA=6; C(,3);
(3)分兩種情況討論:
①當(dāng)0<t≤3時(shí),如圖1, OF=2t, ;
②當(dāng)3<t≤6時(shí),如圖2, AF=2t﹣6, 過點(diǎn)F作FG⊥OA于G,
則 , OG=OA- AG=6﹣(t﹣3)=9﹣t,
;
綜上所述:
(4)分兩種情況討論:
① 當(dāng)腰BE=BF時(shí), 如圖3,
∵BE∥OA ,
∴∠ABE=∠OAB=30° ,
∴∠EBA=∠EAB=30° ,
∴BE=AE 且∠EBC=60°-30°=30° ,
∵在Rt△BOF和Rt△BCE中,BF=BE ,BO=BC ,
∴△BOF≌△BCE,(HL)
∴OF=CE 且 ∠FBO=∠EBC=30° ,
∴∠EBF=120°-30°-30°60° ,
∴ 此時(shí)△BEF為等邊三角形.BF=AF,
在Rt△FBO 中,∵ ∠FBO=30°
∴ FO=BF=AF,
∴AF=2 FO.
∴AO=3FO.
∴3FO=6,
∴ FO=2 ,
∴ 2t=2,
∴此時(shí)t=1,
②當(dāng)腰BE=FE時(shí),由上可知,點(diǎn)F使得△BEF為等邊三角形 或 點(diǎn)F運(yùn)動與A點(diǎn)重合,
則 2t=2,或者 2t=6,
∴ 此時(shí) t=1,或 t=3,;
綜上所述,當(dāng)t=1或3時(shí),△BEF是以BE為腰的等腰三角形.
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(1) 畫出△ABC關(guān)于y軸的對稱圖形△A1B1C1;
(2) 畫出將△ABC繞原點(diǎn)O按順時(shí)鐘旋轉(zhuǎn)180°所得的△A2B2C2;
(3) 在x軸上求作一點(diǎn)P,使△PAB的周長最小,并直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo).(不寫解答過程,直接寫出結(jié)果)
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(1)求該一次函數(shù)解析式;
(2)點(diǎn)C坐標(biāo)為___________ ,點(diǎn)D坐標(biāo)為___________ ;
(3)求該一次函數(shù)圖象和坐標(biāo)軸圍成的圖形面積。
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(1)求證:CF是⊙O的切線;
(2)若⊙O的半徑為5,BC=,求DE的長.
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