Question

如圖，已知直線l的解析式為y=

1

2

x-1，拋物線y=ax²+bx+2經(jīng)過點A（m，0），B（2，0），D（1，

5

4

）三點．
（1）求拋物線的解析式及A點的坐標(biāo)，并在圖示坐標(biāo)系中畫出拋物線的大致圖象；
（2）已知點 P（x，y）為拋物線在第二象限部分上的一個動點，過點P作PE垂直x軸于點E，延長PE與直線l交于點F，請你將四邊形PAFB的面積S表示為點P的橫坐標(biāo)x的函數(shù)，并求出S的最大值及S最大時點P的坐標(biāo)；
（3）將（2）中S最大時的點P與點B相連，求證：直線l上的任意一點關(guān)于x軸的對稱點一定在PB所在直線上．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：綜合題

分析：（1）根據(jù)待定系數(shù)法可求拋物線的解析式，再根據(jù)A（m，0）在拋物線上，得到0=-

1

4

m²-

1

2

m+2，解方程即可得到m的值，從而得到A點的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)四邊形PAFB的面積S=

1

2

AB•PF，可得S=-

3

4

（x+2）²+12，根據(jù)函數(shù)的最值可得S的最大值是12，進(jìn)一步得到點P的坐標(biāo)為；
（3）根據(jù)待定系數(shù)法得到PB所在直線的解析式為y=-

1

2

x+1，設(shè)Q（a，

1

2

a-1）是y=

1

2

x-1上的一點，則Q點關(guān)于x軸的對稱點為（a，1-

1

2

a），將（a，1-

1

2

a）代入y=-

1

2

x+1顯然成立，依此即可求解．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+2經(jīng)過點B（2，0），D（1，

5

4

），
∴

4a+2b+2=0 a+b+2= 5 4

，
解得a=-

1

4

，b=-

1

2

，
∴拋物線的解析式為y=-

1

4

x²-

1

2

x+2，
∵A（m，0）在拋物線上，
∴0=-

1

4

m²-

1

2

m+2，
解得：m₁=-4，m₂=2（舍去），
∴A點的坐標(biāo)為（-4，0）．
如圖所示：


（2）∵直線l的解析式為y=

1

2

x-1，
∴S=

1

2

AB•PF
=

1

2

×6•PF
=3（-

1

4

x²-

1

2

x+2+1-

1

2

x）
=-

3

4

x²-3x+9
=-

3

4

（x+2）²+12，
其中-4＜x＜0，
∴S的最大值是12，此時點P的坐標(biāo)為（-2，2）；

（3）∵直線PB經(jīng)過點P（-2，2），B（2，0），
∴PB所在直線的解析式為y=-

1

2

x+1，
設(shè)Q（a，

1

2

a-1）是y=

1

2

x-1上的一點，
則Q點關(guān)于x軸的對稱點為（a，1-

1

2

a），
將（a，1-

1

2

a）代入y=-

1

2

x+1顯然成立，
∴直線l上的任意一點關(guān)于x軸的對稱點一定在PB所在直線上．

點評：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識點有待定系數(shù)法求拋物線的解析式，待定系數(shù)法求直線的解析式，函數(shù)的最值問題，四邊形的面積求法，以及關(guān)于x軸的對稱點的坐標(biāo)特征．