Question

如圖，⊙O的直徑AB與弦CD互相垂直，垂足為點E，BF∥CD，BF與弦AD的延長線相交于點F，且AD=3，cos∠BCD=

3

4

．
（1）求證：BF是⊙O的切線；
（2）求⊙O的半徑；
（3）求弦CD的長．

Answer 1

考點：切線的判定,勾股定理,解直角三角形

專題：證明題

分析：（1）由于直徑AB與弦CD互相垂直，BF∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得AB⊥BF，于是根據(jù)切線的判定定理得到BF是⊙O的切線；
（2）連結(jié)BD，如圖，根據(jù)圓周角定理得∠BCD=∠A，則cosA=cos∠BCD=

3

4

，再由AB為直徑得到∠ADB=90°，在Rt△ABD中利用余弦的定義可計算出AB=4，從而得到⊙O的半徑為2；
（3）連結(jié)OD，如圖，先在Rt△AED中利用余弦的定義可計算出AE=

9

4

，則OE=AE-OA=

1

4

，再在Rt△ODE中利用勾股定理計算出DE=

3 7

4

，然后根據(jù)垂徑定理得到CD=2DE=

3 7

2

．

解答：（1）證明：∵直徑AB與弦CD互相垂直，BF∥CD，
∴AB⊥BF，
∴BF是⊙O的切線；
（2）解：連結(jié)BD，如圖，
∵∠BCD=∠A，
∴cosA=cos∠BCD=

3

4

，
∵AB為直徑，
∴∠ADB=90°，
在Rt△ABD中，∵cosA=

AD

AB

=

3

4

，
∴AB=

3

3 4

=4，
∴⊙O的半徑為2；
（3）解：連結(jié)OD，如圖，
在Rt△AED中，∵cos∠A=

AE

AD

=

3

4

，
∴AE=

3

4

×3=

9

4

，
∴OE=AE-OA=

9

4

-2=

1

4

，
在Rt△ODE中，∵OD=2，OE=

1

4

，
∴DE=

OD2-OE2

=

3 7

4

，
∵AB⊥CD，
∴CE=DE，
∴CD=2DE=

3 7

2

．

點評：本題考查了切線的判定：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．也考查了勾股定理、垂徑定理和解直角三角形．