【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,B(5,0),點A在第一象限,且OA=OB,sin∠AOB=.
(1)求過點O,A,B三點的拋物線的解析式.
(2)若y=的圖象過(1)中的拋物線的頂點,求k的值.
【答案】(1)y=﹣x2+x;(2).
【解析】
(1)根據(jù)題意求得A(4,3),然后根據(jù)待定系數(shù)法即可求得拋物線的解析式;
(2)把解析式化成頂點式,求得頂點坐標(biāo),代入y=,即可求得k的值.
解:(1)由題意得OA=OB=5,
作AH⊥x軸于H,則AH=OAsin∠AOB=3,
∴OH=4,
∴A(4,3),
設(shè)過O、A、B三點的拋物線為y=ax(x﹣5),
把A(4,3)代入得,3=4a(4﹣5),解得a=,
∴過點O,A,B三點的拋物線的解析式為y=x(x﹣5),
即y=﹣x2+x;
(2)∵y=x2+x=(x﹣)2+,
∴拋物線的頂點為(,),
∵y=的圖象過拋物線的頂點,
∴k=×=.
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【題目】已知等腰直角△ABC,∠C=90°,AC=2,D為邊AC上一動點,連結(jié)BD,在射線BD上取一點E使BEBD=AB2.若點D由A運動到C,則點E運動的路徑長為_____.
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【題目】如圖,在矩形OABC中,點O為原點,點A的坐標(biāo)為(0,8),點C的坐標(biāo)為(6,0).拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過點A、C,與AB交于點D.
(1)求拋物線的函數(shù)解析式;
(2)點P為線段BC上一個動點(不與點C重合),點Q為線段AC上一個動點,AQ=CP,連接PQ,設(shè)CP=m,△CPQ的面積為S.
①求S關(guān)于m的函數(shù)表達(dá)式;
②當(dāng)S最大時,在拋物線y=﹣x2+bx+c的對稱軸l上,若存在點F,使△DFQ為直角三角形,請直接寫出所有符合條件的點F的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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【題目】已知∠ABC=90°,D是直線AB邊上的點,AD=BC
(1)如圖1,點D在線段AB上,過點A作AF⊥AB,且AF=BD,連接DC、DF、CF,試判斷△CDF的形狀并說明理由;
(2)如圖2,點D在線段AB的延長線上,點F在點A的左側(cè),其他條件不變,以上結(jié)論是否仍然成立?請說明理由.
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【題目】如圖,拋物線與x軸交于點,點,與y軸交于點C,且過點.點P、Q是拋物線上的動點.
(1)求拋物線的解析式;
(2)當(dāng)點P在直線OD下方時,求面積的最大值.
(3)直線OQ與線段BC相交于點E,當(dāng)與相似時,求點Q的坐標(biāo).
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【題目】如圖1,△ABC內(nèi)接于圓,點D在劣弧上,AD=BC,DC=AB,Q為AC中點,點D與點P關(guān)于點Q對稱.
(1)求證:△PAD∽△ABC.
(2)求證:點B,P,D在一條直線上.
(3)如圖2,記∠PAB=α,∠PCB=β,∠ABC=θ,請用含α,β的代數(shù)式表示θ.
(4)如圖3,設(shè)E,F分別為AB,BC的中點,EF交BD于點H,求的值.
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【題目】在一次課外實踐活動中,同學(xué)們要測量某公園人工湖兩側(cè)A,B兩個涼亭之間的距離.選涼亭A,C作為觀測點.如圖,現(xiàn)測得∠CAB=45°,∠ACB=98°,AC=200米,請計算A,B兩個涼亭之間的距離、(結(jié)果精確到1米)(參考數(shù)據(jù):≈1.414,≈1.732,sin 37°≈0.6,cos 37°≈0.8,tan 37°≈0.75)
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【題目】小亮和小偉一起參加象棋比賽,他們所在的小組共有5名選手.抽簽袋里有2紅2黑1白共5個小球,摸到同色的成為首輪對手,摸到白球的首輪輪空.現(xiàn)在小組其他3名選手首先依次各摸走一個小球,小亮看到第1個選手摸走的是紅球,他對小偉說根據(jù)這3名選手的摸球結(jié)果我已經(jīng)知道咱倆恰好首輪對陣的概率了.請你求這個概率.(請用“畫樹狀圖”或“列表”等方法寫出分析過程)
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【題目】將一對直角三角板如圖放置,點C在FD的延長線上,點B在ED上,∠F=∠ACB=90°,AB∥CF,∠E=45°,∠A=60°,AC=8,則CD的長度是_________.
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