Question

如圖，正方形ABCD的邊長為1+

3

，△ABE是等邊三角形，點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi)，點(diǎn)P是對(duì)角線AC上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PD+PE的和最小時(shí)，點(diǎn)P到AB的距離為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：軸對(duì)稱-最短路線問題

專題：

分析：由于點(diǎn)B與D關(guān)于AC對(duì)稱，所以連接BE，與AC的交點(diǎn)即為P點(diǎn)．此時(shí)PD+PE=BE最小，△ABE是等邊三角形，得出∠ABE=60°，進(jìn)而得出∠FBC=30°，解直角三角形求得CF=

3

3

BC=

3

3

（1+

3

）=

3

3

+1，然后根據(jù)平行線分線段成比例定理求得

AP′

AC

=

3

3 +1

，進(jìn)一步得出P′G=

3

，從而求得點(diǎn)P到AB的距離為

3

．

解答：解：設(shè)BE與AC交于點(diǎn)P′，連接BD．
∵點(diǎn)B與D關(guān)于AC對(duì)稱，
∴P′D=P′B，
∴P′D+P′E=P′B+P′E=BE最小．
∵AB=1+

3

，
又∵△ABE是等邊三角形，
∴BE=AB=1+

3

．
延長BE交DC于F，作P′G⊥AB于G，
∵△ABE是等邊三角形，
∴∠ABE=60°，
∴∠FBC=30°，
∴CF=

3

3

BC=

3

3

（1+

3

）=

3

3

+1，
∵AB∥CD，
∴

CF

AB

=

CP′

AP′

=

3

3

，
∴

AP′

CP′

=

3

，
∴

AP′

AC

=

3

3 +1

，
∵P′G∥BC，
∴

P′G

BC

=

AP′

AC

，
即

P′G

3 +1

=

3

3 +1

，
∴P′G=

3

，
∴點(diǎn)P到AB的距離為

3

，
故答案為

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是軸對(duì)稱-最短路線問題，等邊三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，解直角三角形等，熟知“兩點(diǎn)之間，線段最短”是解答此題的關(guān)鍵．