【題目】如圖,已知:在平面直角坐標(biāo)系中,直線l與y軸相交于點(diǎn)A(0,m)其中m<0,與x軸相交于點(diǎn)B(4,0).拋物線y=ax2+bx(a>0)的頂點(diǎn)為F,它與直線l相交于點(diǎn)C,其對(duì)稱軸分別與直線l和x軸相交于點(diǎn)D和點(diǎn)E.

(1)設(shè)a=,m=﹣2時(shí),

①求出點(diǎn)C、點(diǎn)D的坐標(biāo);

②拋物線y=ax2+bx上是否存在點(diǎn)G,使得以G、C、D、F四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形?如果存在,求出點(diǎn)G的坐標(biāo);如果不存在,請(qǐng)說明理由.

(2)當(dāng)以F、C、D為頂點(diǎn)的三角形與△BED相似且滿足三角形FAC的面積與三角形FBC面積之比為1:3時(shí),求拋物線的函數(shù)表達(dá)式.

【答案】(12,13, 2y=x24x

【解析】試題分析:(1根據(jù)待定系數(shù)法,可得拋物線的解析式,根據(jù)配方法,可得頂點(diǎn)坐標(biāo);根據(jù)解方程組,可得C點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系,可得D點(diǎn)坐標(biāo);

根據(jù)菱形的性質(zhì),可得G點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)平行四邊形的判定,可得答案;

2)根據(jù)待定系數(shù)法,可得ba的關(guān)系,根據(jù)配方法,可得頂點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)平行線分線段成比例,可得OH的長,根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系,可得C點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等,可得FCD=90°,根據(jù)相思三角形的性質(zhì),可得關(guān)于a的方程,根據(jù)拋物線的開口向上,可得a的值.

試題解析:(1如圖1,

,

當(dāng)a=時(shí),將B點(diǎn)坐標(biāo)代入,得y=x22x=x222頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,2);

當(dāng)m=2時(shí),一次函數(shù)的解析式為y=x2

聯(lián)立拋物線與直線,得

22x=x2,

解得x=1,當(dāng)x=1時(shí),y=,即C點(diǎn)坐標(biāo)為(1,).

當(dāng)x=2時(shí),y=﹣1,即D點(diǎn)坐標(biāo)為(2,﹣1);

假設(shè)存在G點(diǎn),使得以G、C、D、F四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.

CGDF互相平分,而EF是拋物線的對(duì)稱軸,且點(diǎn)G在拋物線上

CGDF

DCFG是菱形,

點(diǎn)C關(guān)于EF的對(duì)稱點(diǎn)G3 ).

設(shè)DFCGDF相交于O′點(diǎn),則DO′=O′F=,CO′=O′G=1

四邊形DCFG是平行四邊形.

拋物線y=ax2+bx上存在點(diǎn)G,使得以GC、D、F四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形,點(diǎn)G的坐標(biāo)為(3 );

2)如圖2,

,

拋物線y=ax2+bx的圖象過(40)點(diǎn),16a+4b=0,

b=﹣4a

y=ax2+bx=ax2﹣4ax=ax﹣22﹣4a的對(duì)稱軸是x=2

F點(diǎn)坐標(biāo)為(2,﹣4a).

三角形FAC的面積與三角形FBC面積之比為13

BCAC=31

過點(diǎn)CCHOBH,過點(diǎn)FFGOB,FGHC交于G點(diǎn).

則四邊形FGHE是矩形.

HCOA,得BCAC=31

HBOH=31,OB=4,OE=EB,得

HE=1,HB=3

C點(diǎn)橫坐標(biāo)代入y=ax2﹣4ax,得y=﹣3a

C1﹣3a),HC=3a,又F2,﹣4a).

GH=4aGC=a

BED中,BED=90°,若FCDBED相似,則FCD是直角三角形

∵∠FDC=BDE90°,CFD90°,

∴∠FCD=90°

∴△BHC∽△CGF,

,

,

a2=1,

a=±1

a0

a=1

拋物線的解析式為y=x2﹣4x

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(1)求拋物線解析式及對(duì)稱軸.

(2)若點(diǎn)D在線段FB上運(yùn)動(dòng)(不與F,B重合),過點(diǎn)D作DC⊥軸于點(diǎn)C(x, 0),將△FCD沿CD向左翻折,點(diǎn)B對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E, △CDE與△FBO重疊部分面積為S.

①試求出S與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量取值范圍.

②是否存在這樣的點(diǎn)C,使得△BDE為直角三角形,若存在,求出C點(diǎn)坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說明理由;

(3)拋物線對(duì)稱軸上有一點(diǎn)M,平面內(nèi)有一點(diǎn)N,若以A,B,M,N四點(diǎn)組成的四邊形為菱形,求點(diǎn)N的坐標(biāo);

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