Question

如圖，正方形ABCD的邊長為6，點E在邊AB上，連接ED，過點D作FD⊥DE與BC的延長線相交于點F，連接EF與邊CD相交于點G、與對角線BD相交于點H．
（1）若BD=BF，求BE的長；
（2）若∠ADE=2∠BFE，求證：HF=HE+HD．

Answer 1

考點：正方形的性質,全等三角形的判定與性質,勾股定理

專題：

分析：（1）由四邊形ABCD正方形，BF=BD=6

2

，由DF⊥DE，易證得△ADE≌△CDF，即可求得BE的長；
（2）首先在FE上截取一段FI，使得FI=EH，由△ADE≌△CDF，易證得△DEH≌△DFI，即可得DH=DI，又由∠ADE=2∠BFE，易證得△DHI為等邊三角形，即可得DH=HI，繼而可得FH=HE+HD．

解答：（1）解：如圖，∵在正方形ABCD中，∠BCD=90°，BC=CD=6，
∴BD=6

2

．
∵DF⊥DE，
∴∠ADE+∠EDC=90°，∠EDC+∠CDF=90°，
∴∠ADE=∠CDF，
在△ADE和△CDF中，

∠ADE=∠CDF AD=DC ∠A=∠DCF=90°

，
∴△ADE≌△CDF（ASA），
∴AE=CF．
又∵BD=BF=6

2

，
∴AE=CF=BF-BC=6

2

-6，
∴BE=AB-AE=6-（6

2

-6）=12-6

2

，即BE的長為12-6

2

；

（2）證明：在FE上截取一段FI，使得FI=EH，
∵由（1）知，△ADE≌△CDF，
∴DE=DF，
∴△DEF為等腰直角三角形，
∴∠DEF=∠DFE=45°=∠DBC，
∵∠DHE=∠BHF，
∴∠EDH=∠BFH（三角形的內(nèi)角和定理），
在△DEH和△DFI中，

DE=DF ∠DEH=∠DFI EH=FI

，
∴△DEH≌△DFI（SAS），
∴DH=DI，
又∵∠HDE=∠BFE，∠ADE=2∠BFE，
∴∠HDE=∠BFE=

1

2

∠ADE，
∵∠HDE+∠ADE=45°，
∴∠HDE=15°，
∴∠DHI=∠DEH+∠HDE=60°，
即△DHI為等邊三角形，
∴DH=HI，
∴HF=FI+HI=HE+HD，即HF=HE+HD．

點評：此題考查了正方形的性質、全等三角形的判定與性質、等腰直角三角形的性質以及等邊三角形的判定與性質．此題綜合性較強，難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結合思想的應用．