Question

如圖，正方形ABCD中，E為BC延長線上一點，F(xiàn)為DC上一點，且CE=CF，連接BF并延長與DE交于點G．

（1）如圖①，求證：BG⊥DE；
（2）如圖②，當點F為邊CD的中點時，連接EF并延長交AD于點H，連接BH，求證：四邊形BEDH是等腰梯形；
（3）如圖③，點G是DE的中點時，連接BD、AG交于點M，求證：DE=

2

AM．

Answer 1

考點：四邊形綜合題

專題：

分析：（1）由正方形的性質(zhì)就可以得出△BCF≌△DCE，就可以得出∠CBF=∠CDE，就可以得出∠BGE=90°而得出結(jié)論；
（2）通過證明△HDF≌△ECF就可以得出HD=CE=CF，由CF=

1

2

DC，就可以得出得出AH=DH=CE就可以得出△DCE≌△BAH就可以得出DE=BH，就可以得出結(jié)論；
（3）連結(jié)CG，由直角三角形的性質(zhì)就可以得出△ADG≌△BCG，得出AG=BG就可以得出∠GAB=∠GBA，由BD=BE，BG⊥DE就可以得出∠DBG=∠EBG=∠CDE，就可以得出∠BDE=∠ABG=∠BAG，由△ABM∽△DBE就可以得出結(jié)論．

解答：（1）證明：如圖①，∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，AD∥BC，AB∥CD，∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，
∴∠DCE=∠ABC=∠ADC=90°，
∴∠BCD=∠DCE．
在△BCF和△DCE中

BC=DC ∠BCD=∠DCE CF=CE

，
∴△BCF≌△DCE（SAS），
∴∠BFC=∠E，∠CBF=∠CDE．
∵∠E+∠CDE=90°，
∴∠E+∠CBF=90°，
∴∠BGE=90°，
∴BG⊥DE；
（2）證明：如圖②∵F為邊CD的中點，
∴DF=CF=

1

2

CD．
∵AD∥BC，
∴∠DHF=∠CEF．
在△HDF和△ECF中

∠DHF=∠CEF ∠HDF=∠ECF DF=CF

，
∴△HDF≌△ECF（AAS），
∴HD=CE，
∴HD=CF=

1

2

CD，
∴HD=

1

2

AD，
∴AH=HD，
∴AH=CE．
在△DCE和△BAH中

CE=AH ∠DCE=∠A CD=AB

，
∴△DCE≌△BAH（SAS），
∴DE=BH．
∵AD∥BE，
∴四邊形BEDH是等腰梯形；
（3）解：如圖③，連結(jié)CG，
∵G是DE的中點，
∴CG=DG，
∴∠DCG=∠GDC，
∴∠ADG=∠BCG．
在△ADG和△BCG中

AD=BC ∠ADG=∠BCG DG=CG

，
∴△ADG≌△BCG（SAS），
∴AG=BG，
∴∠GAB=∠GBA．
∵BG是△DBE的中線，BG⊥DE，
∴BD=BE，
∴∠DBG=∠EBG，
∴∠DBG=∠EBG=∠EDC．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABD=∠DBC=∠BDC=45°．
∴∠ABD+∠DBG=∠BDC+∠CDE，
∴∠ABG=∠BDE，
∴∠GAB=∠BDE．
∵∠ABD=∠DBC，
∴△ABM∽△DBE，
∴

AB

BD

=

AM

DE

．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴

BD

AB

=

2

，
∴

DE

AM

=

2

，
∴DE=

2

AM．

點評：本題考查了矩形的性質(zhì)的運用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運用，垂直的判定及性質(zhì)的運用，等腰三角形的性質(zhì)的運用，等腰三角形的判定及性質(zhì)的運用，直角三角形的性質(zhì)的運用，相似三角形的判定及性質(zhì)的運用，解答時證明三角形相似是難點．